ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Все степени определены при любом $x$, ограничений нет.

Разложим каждую степень по свойствам $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ и $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$:

$$25^{x+0,5}=25^x\cdot 25^{0,5}=5\cdot 25^x,1,2\cdot 2^{4x+1}=1,2\cdot 2\cdot 16^x=2,4\cdot 16^x,140\cdot 20^{x-1}=\frac{140}{20}\cdot 20^x=7\cdot 20^x.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$5\cdot 25^x-7\cdot 20^x+2,4\cdot 16^x=0.$$

Заметим, что $25^x={\left(5^x\right)}^2$, $16^x={\left(4^x\right)}^2$, $20^x=5^x\cdot 4^x$. Значит, это однородное уравнение второй степени относительно $5^x$ и $4^x$. Разделим обе части на $16^x$; так как $16^x>0$ при всех $x$, переход равносилен:

$$5\cdot {\left(\frac{25}{16}\right)}^x-7\cdot {\left(\frac{20}{16}\right)}^x+2,4=0\iff 5\cdot {\left({\left(\frac{5}{4}\right)}^x\right)}^2-7\cdot {\left(\frac{5}{4}\right)}^x+2,4=0.$$

Сделаем замену $t={\left(\frac{5}{4}\right)}^x$, где $t>0$:

$$5t^2-7t+2,4=0.$$

Умножим на 5, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$$25t^2-35t+12=0,D=35^2-4\cdot 25\cdot 12=1225-1200=25=5^2.$$

$$t_1=\frac{35+5}{50}=\frac{4}{5},t_2=\frac{35-5}{50}=\frac{3}{5}.$$

Оба корня положительны, поэтому оба годятся. Сделаем обратную замену.

Если ${\left(\frac{5}{4}\right)}^x=\frac{4}{5}$, то, так как $\frac{4}{5}={\left(\frac{5}{4}\right)}^{-1}$ и показательная функция монотонна, $x=-1$.

Если ${\left(\frac{5}{4}\right)}^x=\frac{3}{5}$, то по определению логарифма $x={\log }_{\frac{5}{4}}\frac{3}{5}$.

б) Сравним каждый корень с концами отрезка $[-2,5;-0,5]$.

Корень $x=-1$ подходит, так как $-2,5⩽-1⩽-0,5$.

Для корня $x={\log }_{\frac{5}{4}}\frac{3}{5}$ заметим, что основание $\frac{5}{4}>1$, поэтому функция $y={\log }_{\frac{5}{4}}t$ возрастает. Так как $\frac{3}{5}<\frac{4}{5}$, получаем

$${\log }_{\frac{5}{4}}\frac{3}{5}<{\log }_{\frac{5}{4}}\frac{4}{5}=-1<-0,5.$$

Значит, этот корень не правее отрезка. Сравним его с левым концом. Запишем $-2,5$ как логарифм по тому же основанию: $-2,5={\log }_{\frac{5}{4}}{\left(\frac{5}{4}\right)}^{-2,5}={\log }_{\frac{5}{4}}{\left(\frac{4}{5}\right)}^{2,5}$. Из-за возрастания логарифма достаточно сравнить аргументы ${\left(\frac{4}{5}\right)}^{2,5}$ и $\frac{3}{5}$. Оба числа положительны, поэтому знак сравнения сохранится при возведении в квадрат:

$${\left(\frac{4}{5}\right)}^5\vee \frac{9}{25}\iff \frac{4^5}{5^5}\vee \frac{9}{25}\iff 4^5\vee 9\cdot 5^3\iff 1024<1125.$$

Значит, ${\left(\frac{4}{5}\right)}^{2,5}<\frac{3}{5}$, и

$$-2,5={\log }_{\frac{5}{4}}{\left(\frac{4}{5}\right)}^{2,5}<{\log }_{\frac{5}{4}}\frac{3}{5}.$$

Итак, $-2,5<{\log }_{\frac{5}{4}}\frac{3}{5}<-1$, и этот корень тоже лежит на отрезке.

Ответ: а) $-1$; ${\log }_{\frac{5}{4}}\frac{3}{5}$; б) $-1$; ${\log }_{\frac{5}{4}}\frac{3}{5}$.