ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле синуса суммы $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$:

$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\sin x\cdot \frac{1}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x.$$

Подставим это в уравнение и перенесём все слагаемые в левую часть:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x-2\sqrt{3}{\sin }^{2}x-\sin x+2\sqrt{3}=0\iff \sqrt{3}\cos x+2\sqrt{3}\left(1-{\sin }^{2}x\right)=0.$$

По основному тригонометрическому тождеству $1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$:

$$\sqrt{3}\cos x+2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0\iff \sqrt{3}\cos x\left(1+2\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=-\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

Концы отрезка со знаменателем 6: $-3\pi =-\frac{18\pi }{6}$, $-\frac{3\pi }{2}=-\frac{9\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — это верхняя и нижняя точки окружности, обе лежат на дуге. Нижней точке соответствует $-\frac{5\pi }{2}=-\frac{15\pi }{6}$, верхней — $-\frac{3\pi }{2}$ (конец отрезка). Соседние значения $-\frac{7\pi }{2}<-3\pi$ и $-\frac{\pi }{2}>-\frac{3\pi }{2}$ — вне отрезка.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку во II четверти, которая на дугу не входит: $-\frac{10\pi }{3}=-\frac{20\pi }{6}<-\frac{18\pi }{6}$, а следующее значение $-\frac{4\pi }{3}=-\frac{8\pi }{6}>-\frac{9\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку в III четверти. При $k=-1$ получаем $-\frac{8\pi }{3}=-\frac{16\pi }{6}$, и $-\frac{18\pi }{6}⩽-\frac{16\pi }{6}⩽-\frac{9\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $-\frac{14\pi }{3}<-3\pi$ и $-\frac{2\pi }{3}>-\frac{3\pi }{2}$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $-\frac{8\pi }{3}$, $-\frac{5\pi }{2}$, $-\frac{3\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{8\pi }{3}$, $-\frac{5\pi }{2}$, $-\frac{3\pi }{2}$.