ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Все степени в уравнении определены при любом $x$, ограничений нет.

Приведём все степени к основанию 2 и выразим их через $2^x$. По свойствам степени

$$8^x={\left(2^3\right)}^x={\left(2^x\right)}^3,9\cdot 2^{x+1}=9\cdot 2\cdot 2^x=18\cdot 2^x,2^{5-x}=\frac{2^5}{2^x}=\frac{32}{2^x}.$$

Сделаем замену $t=2^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Уравнение принимает вид

$$t^3-18t+\frac{32}{t}=0.$$

Умножим обе части на $t$. Так как $t>0$, это равносильный переход:

$$t^4-18t^2+32=0.$$

Получилось биквадратное уравнение. Обозначим $u=t^2$, где $u>0$:

$$u^2-18u+32=0.$$

По теореме, обратной теореме Виета, корнями будут числа, сумма которых равна 18, а произведение равно 32: это $u_1=2$ и $u_2=16$. Проверка: $2+16=18$, $2\cdot 16=32$. Оба значения положительны.

Вернёмся к $t$, учитывая $t>0$:

$$t^2=16\Rightarrow t=4,t^2=2\Rightarrow t=\sqrt{2}.$$

Сделаем обратную замену. Функция $y=2^x$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$2^x=4=2^2\iff x=2,2^x=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\iff x=\frac{1}{2}.$$

б) Сравним каждый корень с концами отрезка $\left[{\log }_{5}2;{\log }_{5}20\right]$. Для этого запишем корни в виде логарифмов по основанию 5. Функция $y={\log }_{5}t$ возрастает, так как $5>1$, поэтому большему аргументу соответствует большее значение логарифма.

Корень $x=\frac{1}{2}$: по определению логарифма $\frac{1}{2}={\log }_5{5}^{\frac{1}{2}}={\log }_5\sqrt{5}$. Так как $2^2=4<5<400=20^2$, то $2<\sqrt{5}<20$, и значит,

$${\log }_{5}2<{\log }_5\sqrt{5}<{\log }_{5}20.$$

Корень $\frac{1}{2}$ лежит на отрезке.

Корень $x=2$: $2={\log }_5{5}^2={\log }_{5}25$. Так как $25>20$, то ${\log }_{5}25>{\log }_{5}20$, то есть корень $2$ правее отрезка и не подходит.

Ответ: а) $\frac{1}{2}$; $2$; б) $\frac{1}{2}$.