ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos (x+\pi )=-\cos x$: поворот на $\pi$ переводит точку окружности в диаметрально противоположную, и абсцисса меняет знак. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. Подставим:

$$2{\cos }^{2}x-1-\sqrt{2}\cos x+1=0\iff 2{\cos }^{2}x-\sqrt{2}\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $\cos x$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\cos x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-4\pi$ — правая точка окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим I, II и III четверти.

Концы отрезка со знаменателем 4: $-4\pi =-\frac{16\pi }{4}$, $-\frac{5\pi }{2}=-\frac{10\pi }{4}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают $-\frac{7\pi }{2}$ (верхняя точка) и $-\frac{5\pi }{2}$ (нижняя точка, конец отрезка). Соседние значения $-\frac{9\pi }{2}<-4\pi$ и $-\frac{3\pi }{2}>-\frac{5\pi }{2}$ — вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ даёт точку в I четверти. При $k=-2$ получаем $-\frac{15\pi }{4}$, и $-\frac{16\pi }{4}⩽-\frac{15\pi }{4}⩽-\frac{10\pi }{4}$ — корень подходит. Соседние значения $-\frac{23\pi }{4}<-4\pi$ и $-\frac{7\pi }{4}>-\frac{5\pi }{2}$ — вне отрезка.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ даёт точку в IV четверти, которая на дугу не входит: $-\frac{17\pi }{4}<-\frac{16\pi }{4}$, а следующее значение $-\frac{9\pi }{4}>-\frac{10\pi }{4}$.

На отрезке лежат корни $-\frac{15\pi }{4}$, $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{15\pi }{4}$, $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{5\pi }{2}$.