ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По основному тригонометрическому тождеству $1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$, поэтому правую часть можно записать как $\sqrt{3}{\sin }^{2}x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x$:

$$2{\sin }^{2}x\cos x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x=\sqrt{3}{\sin }^{2}x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x.$$

Слагаемое $\sqrt{3}{\cos }^{2}x$ стоит в обеих частях, вычтем его:

$$2{\sin }^{2}x\cos x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x=0\iff {\sin }^{2}x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi n,\\ x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $4\pi$ — правая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти.

Концы отрезка со знаменателем 6: $\frac{5\pi }{2}=\frac{15\pi }{6}$, $4\pi =\frac{24\pi }{6}$.

Из серии $x=\pi n$ на отрезок попадают $3\pi$ и $4\pi$ (конец отрезка). Соседние значения $2\pi <\frac{5\pi }{2}$ и $5\pi >4\pi$ — вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ даёт точку в I четверти, которая на дугу не входит: $\frac{13\pi }{6}<\frac{15\pi }{6}$, а следующее значение $\frac{25\pi }{6}>\frac{24\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n$ даёт точку в IV четверти. При $n=2$ получаем $\frac{23\pi }{6}$, и $\frac{15\pi }{6}⩽\frac{23\pi }{6}⩽\frac{24\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{11\pi }{6}<\frac{15\pi }{6}$ и $\frac{35\pi }{6}>\frac{24\pi }{6}$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $3\pi$, $\frac{23\pi }{6}$, $4\pi$.

Ответ: а) $\pi n$, $\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$; б) $3\pi$, $\frac{23\pi }{6}$, $4\pi$.