ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) Логарифм определён, когда его аргумент положителен. По определению логарифма ${\log }_{3}A=4$ равносильно $A=3^4=81$. Число 81 положительно, поэтому на решениях этого равенства ограничение «аргумент больше нуля» выполняется автоматически, и отдельно его проверять не нужно:

$$\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\sin 2x+81=81\iff \sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\sin 2x=0.$$

По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$, по формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

$$\sqrt{2}\sin x+2\sin x\cos x=0\iff \sin x\left(\sqrt{2}+2\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

Концы отрезка со знаменателем 4: $\pi =\frac{4\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{2}=\frac{10\pi }{4}$.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $\pi$ (начало отрезка) и $2\pi$. Соседние значения $0<\pi$ и $3\pi >\frac{5\pi }{2}$ — вне отрезка.

Серия $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ даёт точку во II четверти, которая на дугу не входит: $\frac{3\pi }{4}<\frac{4\pi }{4}$, а следующее значение $\frac{11\pi }{4}>\frac{10\pi }{4}$.

Серия $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ даёт точку в III четверти. При $k=1$ получаем $\frac{5\pi }{4}$, и $\frac{4\pi }{4}⩽\frac{5\pi }{4}⩽\frac{10\pi }{4}$ — корень подходит. Соседние значения $-\frac{3\pi }{4}<\pi$ и $\frac{13\pi }{4}>\frac{5\pi }{2}$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $\pi$, $\frac{5\pi }{4}$, $2\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\pi$, $\frac{5\pi }{4}$, $2\pi$.