ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) По формуле приведения $\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)=\sin 2x$ (косинус — чётная функция). Уравнение принимает вид

$$\frac{4{\cos }^{3}x-6\cos x}{\sin 2x}=3.$$

Дробь определена, когда знаменатель не равен нулю. Так как $\sin 2x=2\sin x\cos x$, ограничение равносильно двум условиям:

$$\sin 2x\ne 0\iff \{\begin{array}{l}\sin x\ne 0,\\ \cos x\ne 0.\end{array}$$

При этом условии умножим обе части на знаменатель — получим равносильную систему:

$$\{\begin{array}{l}4{\cos }^{3}x-6\cos x=6\sin x\cos x,\\ \sin x\ne 0,\cos x\ne 0.\end{array}$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $2\cos x$:

$$2\cos x\left(2{\cos }^{2}x-3\sin x-3\right)=0.$$

По условию $\cos x\ne 0$, поэтому на этот множитель можно разделить: остаётся

$$2{\cos }^{2}x-3\sin x-3=0.$$

Заменим ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ по основному тригонометрическому тождеству:

$$2-2{\sin }^{2}x-3\sin x-3=0\iff 2{\sin }^{2}x+3\sin x+1=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$. Корни уравнения $2t^2+3t+1=0$ найдём через дискриминант $D=9-8=1$:

$$t_1=\frac{-3-1}{4}=-1,t_2=\frac{-3+1}{4}=-\frac{1}{2}.$$

Значение $\sin x=-1$ не подходит: из основного тождества тогда $\cos x=0$, а это запрещено ограничением.

Значение $\sin x=-\frac{1}{2}$ даёт ${\cos }^{2}x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\ne 0$ и $\sin x\ne 0$, то есть ограничения выполнены. Решаем:

$$\sin x=-\frac{1}{2}\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{3\pi }{2};4\pi \right]$ равна $\frac{5\pi }{2}>2\pi$, поэтому отберём корни двойными неравенствами: подставим каждую серию в условие $\frac{3\pi }{2}⩽x⩽4\pi$ и найдём целые $k$.

Для серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ разделим неравенство на $\pi >0$ и прибавим $\frac{1}{6}$:

$$\frac{3}{2}⩽-\frac{1}{6}+2k⩽4\iff \frac{5}{3}⩽2k⩽\frac{25}{6}\iff \frac{5}{6}⩽k⩽\frac{25}{12}.$$

Целые значения: $k=1$ и $k=2$, им соответствуют $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}$ и $x=-\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{23\pi }{6}$.

Для серии $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ аналогично:

$$\frac{3}{2}⩽-\frac{5}{6}+2k⩽4\iff \frac{7}{3}⩽2k⩽\frac{29}{6}\iff \frac{7}{6}⩽k⩽\frac{29}{12}.$$

Единственное целое значение $k=2$, ему соответствует $x=-\frac{5\pi }{6}+4\pi =\frac{19\pi }{6}$.

На отрезке лежат корни $\frac{11\pi }{6}$, $\frac{19\pi }{6}$, $\frac{23\pi }{6}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi }{6}$, $\frac{19\pi }{6}$, $\frac{23\pi }{6}$.