ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ имеем ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Подставим:

$$8\left(1-{\cos }^{2}x\right)-6\cos x-3=0\iff -8{\cos }^{2}x-6\cos x+5=0\iff 8{\cos }^{2}x+6\cos x-5=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$. Получаем квадратное уравнение

$$8t^2+6t-5=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=6^2-4\cdot 8\cdot (-5)=36+160=196=14^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{-6+14}{16}=\frac{1}{2},t_2=\frac{-6-14}{16}=-\frac{5}{4}.$$

Значение $t_2=-\frac{5}{4}<-1$ косинус принять не может, это значение отбрасываем. Сделаем обратную замену для $t_1$:

$$\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $-2\pi$ — правая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти.

Концы отрезка со знаменателем 6: $-\frac{7\pi }{2}=-\frac{21\pi }{6}$, $-2\pi =-\frac{12\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку в I четверти, а I четверть на дугу не входит. Действительно, при $k=-2$ получаем $-\frac{11\pi }{3}=-\frac{22\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}$, а при $k=-1$ уже $-\frac{5\pi }{3}=-\frac{10\pi }{6}>-\frac{12\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку в IV четверти, она лежит на дуге. При $k=-1$ получаем $-\frac{7\pi }{3}=-\frac{14\pi }{6}$, и $-\frac{21\pi }{6}⩽-\frac{14\pi }{6}⩽-\frac{12\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $-\frac{13\pi }{3}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{3}>-2\pi$ — вне отрезка.

На отрезке лежит единственный корень $-\frac{7\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{3}$.