ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=\sin x$: от угла $\frac{3\pi }{2}$ на вертикальной оси косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}+x$ лежит в IV четверти, где косинус положителен. Значит, ${\cos }^2\left(\frac{3\pi }{2}+x\right)={\sin }^{2}x$. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2{\sin }^{2}x=2\sin x\cos x\iff {\sin }^{2}x-\sin x\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $\sin x$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sin x\left(\sin x-\cos x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x-\cos x=0.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение однородное первой степени. Если $\cos x=0$, то из него и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не обращаются в нуль одновременно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях второго уравнения $\cos x\ne 0$, и деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{9\pi }{2};-3\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{9\pi }{2}=-4\pi -\frac{\pi }{2}$ изображается нижней точкой окружности, конец $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левой точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти.

Серия $x=\pi k$ — это правая и левая точки окружности. Обе лежат на дуге: правой точке соответствует $-4\pi$, левой — $-3\pi$ (конец отрезка). Проверим: $-\frac{9\pi }{2}⩽-4\pi ⩽-3\pi$. Соседние значения $-5\pi <-\frac{9\pi }{2}$ и $-2\pi >-3\pi$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ — это точка $\frac{\pi }{4}$ в I четверти и противоположная ей точка в III четверти. На дугу попадает только точка I четверти, ей соответствует число $-4\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{15\pi }{4}$. Проверим со знаменателем 4: $-\frac{18\pi }{4}⩽-\frac{15\pi }{4}⩽-\frac{12\pi }{4}$. Соседние значения $-\frac{19\pi }{4}<-\frac{18\pi }{4}$ и $-\frac{11\pi }{4}>-\frac{12\pi }{4}$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $-4\pi$, $-\frac{15\pi }{4}$, $-3\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-4\pi$, $-\frac{15\pi }{4}$, $-3\pi$.