ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Обе части уравнения определены при всех $x$: показательная функция определена для любого показателя. Ограничений нет.

Приведём обе степени к основанию 4. По свойству степени $16^{{\sin }^{2}x}={\left(4^2\right)}^{{\sin }^{2}x}=4^{2{\sin }^{2}x}$. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, поэтому

$$4^{\cos 2x}=4^{1-2{\sin }^{2}x}=\frac{4}{4^{2{\sin }^{2}x}}.$$

Уравнение принимает вид

$$4\cdot 4^{2{\sin }^{2}x}-\frac{24}{4^{2{\sin }^{2}x}}=29.$$

Сделаем замену $t=4^{2{\sin }^{2}x}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Получаем

$$4t-\frac{24}{t}=29.$$

Умножим обе части на $t$. Так как $t>0$, это равносильный переход:

$$4t^2-29t-24=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=29^2+4\cdot 4\cdot 24=841+384=1225=35^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{29+35}{8}=8,t_2=\frac{29-35}{8}=-\frac{3}{4}.$$

Корень $t_2=-\frac{3}{4}<0$ не удовлетворяет условию $t>0$. Остаётся $t=8$. Сделаем обратную замену и приведём обе части к основанию 2:

$$4^{2{\sin }^{2}x}=8\iff 2^{4{\sin }^{2}x}=2^3.$$

Функция $y=2^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$4{\sin }^{2}x=3\iff {\sin }^{2}x=\frac{3}{4}.$$

Удобнее всего записать решение через косинус двойного угла: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$. Это равносильно найденному равенству, так как ${\sin }^{2}x$ однозначно выражается через $\cos 2x$. Тогда

$$2x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Эта запись объединяет четыре точки окружности, в которых $\sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$: $\frac{\pi }{3}$, $\frac{2\pi }{3}$, $\frac{4\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{3}$.

б) Длина отрезка $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности: отметим дугу от $\frac{3\pi }{2}$ (нижняя точка) до $3\pi$ (левая точка) против часовой стрелки — она проходит IV, I и II четверти — и точки обеих серий.

Концы отрезка со знаменателем 6: $\frac{3\pi }{2}=\frac{9\pi }{6}$, $3\pi =\frac{18\pi }{6}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ при $k=2$ получаем $\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}$, и $\frac{9\pi }{6}⩽\frac{14\pi }{6}⩽\frac{18\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{4\pi }{3}=\frac{8\pi }{6}<\frac{9\pi }{6}$ и $\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}>\frac{18\pi }{6}$ лежат вне отрезка.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k$ при $k=2$ получаем $\frac{5\pi }{3}=\frac{10\pi }{6}$, при $k=3$ — $\frac{8\pi }{3}=\frac{16\pi }{6}$; оба числа лежат между $\frac{9\pi }{6}$ и $\frac{18\pi }{6}$. Соседние значения $\frac{2\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{11\pi }{3}>3\pi$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $\frac{5\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{3}$, $\frac{8\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{3}$, $\frac{8\pi }{3}$.