ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos \left(x+\frac{3\pi }{2}\right)=\sin x$: угол $\frac{3\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}+x$ лежит в IV четверти, где косинус положителен, — знак плюс. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Подставим:

$$2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)-16\sin x-9=0\iff -4{\sin }^{2}x-16\sin x-7=0.$$

Умножим обе части на $-1$:

$$4{\sin }^{2}x+16\sin x+7=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$4t^2+16t+7=0.$$

Найдём дискриминант: $D=16^2-4\cdot 4\cdot 7=256-112=144=12^2$. Тогда

$$t_1=\frac{-16-12}{2\cdot 4}=-\frac{7}{2},t_2=\frac{-16+12}{2\cdot 4}=-\frac{1}{2}.$$

Корень $t_1=-\frac{7}{2}$ не подходит, так как $-\frac{7}{2}<-1$. Корень $t_2=-\frac{1}{2}$ лежит в промежутке $[-1;1]$. Сделаем обратную замену:

$$\sin x=-\frac{1}{2}.$$

Синус равен $-\frac{1}{2}$ в точках $-\frac{\pi }{6}$ (IV четверть) и $-\frac{5\pi }{6}$ (III четверть):

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

Точка $-\frac{\pi }{6}$ лежит в IV четверти — на дуге. Точка $-\frac{5\pi }{6}$ лежит в III четверти, которую дуга не покрывает.

Точке $-\frac{\pi }{6}$ на нашем отрезке соответствует число $2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}$. Проверим в шестых долях: отрезок — это $\left[\frac{9\pi }{6};\frac{18\pi }{6}\right]$, и $9<11<18$.

Соседние значения этой серии $\frac{11\pi }{6}-2\pi =-\frac{\pi }{6}$ и $\frac{11\pi }{6}+2\pi =\frac{23\pi }{6}$ лежат вне отрезка. Серия $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $2\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}<\frac{9\pi }{6}$, а $4\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{19\pi }{6}>\frac{18\pi }{6}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi }{6}$.