ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Раскроем синус суммы по формуле $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$:

$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2\left(\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x.$$

По формуле приведения $\sin (\pi +x)=-\sin x$: угол $\pi$ отсчитывается от горизонтальной оси, поэтому синус остаётся синусом, а угол $\pi +x$ при малых $x>0$ лежит в III четверти, где синус отрицателен. Подставим:

$$\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x=0\iff \sqrt{2}\left(\cos x-\sin x\right)=0\iff \cos x-\sin x=0.$$

Это однородное уравнение первой степени. Если бы $\cos x=0$, то из уравнения $\sin x=0$ — но синус и косинус одновременно в ноль не обращаются, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях $\cos x\ne 0$, и деление на $\cos x$ — равносильный переход:

$$1-\mathrm{tg}x=0\iff \mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{9\pi }{2};-3\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{9\pi }{2}=-4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

Серия $\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) — на дуге, и $\frac{5\pi }{4}$ (III четверть) — вне дуги.

Точке $\frac{\pi }{4}$ на нашем отрезке соответствует число $-4\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{15\pi }{4}$. Проверим в четвертях: отрезок — это $\left[-\frac{18\pi }{4};-\frac{12\pi }{4}\right]$, и $-18<-15<-12$.

Соседние значения серии $-\frac{15\pi }{4}-\pi =-\frac{19\pi }{4}<-\frac{18\pi }{4}$ и $-\frac{15\pi }{4}+\pi =-\frac{11\pi }{4}>-\frac{12\pi }{4}$ лежат вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{15\pi }{4}$.