ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно, $1-{\sin }^{2}x⩾0$. Это верно при всех $x$, так как ${\sin }^{2}x⩽1$. Ограничений нет.

По основному тригонометрическому тождеству $1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$. Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению:

$$\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=\sqrt{{\cos }^{2}x}=|\cos x|.$$

Уравнение принимает вид

$$36^{|\cos x|}-36^{\cos x}=\frac{35}{6}.$$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Если $\cos x⩾0$, то $|\cos x|=\cos x$ и левая часть равна $36^{\cos x}-36^{\cos x}=0\ne \frac{35}{6}$. В этом случае решений нет.

Если $\cos x<0$, то $|\cos x|=-\cos x$, и уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}36^{-\cos x}-36^{\cos x}=\frac{35}{6},\\ \cos x<0.\end{array}$$

Сделаем замену $t=36^{-\cos x}$. При $\cos x<0$ показатель $-\cos x$ лежит в промежутке $(0;1]$, поэтому $1<t⩽36$. Кроме того, $36^{\cos x}=\frac{1}{36^{-\cos x}}=\frac{1}{t}$. Получаем

$$t-\frac{1}{t}=\frac{35}{6}.$$

Умножим обе части на $6t>0$ — это равносильный переход:

$$6t^2-6=35t\iff 6t^2-35t-6=0.$$

Найдём дискриминант: $D=35^2+4\cdot 6\cdot 6=1225+144=1369=37^2$. Тогда

$$t_1=\frac{35-37}{12}=-\frac{1}{6},t_2=\frac{35+37}{12}=6.$$

Корень $t_1=-\frac{1}{6}$ не подходит, так как $t>1$. Корень $t_2=6$ лежит в промежутке $(1;36]$. Сделаем обратную замену, записав $6=\sqrt{36}=36^{\frac{1}{2}}$:

$$36^{-\cos x}=36^{\frac{1}{2}}\iff -\cos x=\frac{1}{2}\iff \cos x=-\frac{1}{2}.$$

Условие $\cos x<0$ выполнено. Косинус равен $-\frac{1}{2}$ в точках $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть) и $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть):

$$x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через III, IV и I четверти.

Точка $-\frac{2\pi }{3}$ лежит в III четверти — на дуге. Точка $\frac{2\pi }{3}$ лежит во II четверти, которую дуга не покрывает.

Точке $-\frac{2\pi }{3}$ на нашем отрезке соответствует число $-2\pi -\frac{2\pi }{3}=-\frac{8\pi }{3}$. Проверим в шестых долях: отрезок — это $\left[-\frac{18\pi }{6};-\frac{9\pi }{6}\right]$, а $-\frac{8\pi }{3}=-\frac{16\pi }{6}$, и $-18<-16<-9$.

Соседние значения этой серии $-\frac{8\pi }{3}-2\pi =-\frac{14\pi }{3}<-3\pi$ и $-\frac{8\pi }{3}+2\pi =-\frac{2\pi }{3}>-\frac{3\pi }{2}$ лежат вне отрезка. Серия $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-4\pi +\frac{2\pi }{3}=-\frac{10\pi }{3}<-3\pi$, а $-2\pi +\frac{2\pi }{3}=-\frac{4\pi }{3}=-\frac{8\pi }{6}>-\frac{9\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{8\pi }{3}$.