ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Перенесём $2\sin x$ в левую часть и вынесем $2\sin x$ из двух слагаемых с синусом:

$$2{\sin }^{3}x-2\sin x-\sqrt{2}{\cos }^{2}x=0\iff 2\sin x\left({\sin }^{2}x-1\right)-\sqrt{2}{\cos }^{2}x=0.$$

Из основного тригонометрического тождества ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ следует ${\sin }^{2}x-1=-{\cos }^{2}x$. Подставим:

$$-2\sin x{\cos }^{2}x-\sqrt{2}{\cos }^{2}x=0.$$

Вынесем общий множитель $-{\cos }^{2}x$:

$$-{\cos }^{2}x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}{\cos }^{2}x=0,\\ 2\sin x+\sqrt{2}=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точках $-\frac{\pi }{4}$ (IV четверть) и $-\frac{3\pi }{4}$ (III четверть). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

Серия $\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт нижнюю точку (она совпадает с началом дуги) и верхнюю точку (она лежит на дуге). Точка $-\frac{\pi }{4}$ лежит в IV четверти — на дуге. Точка $-\frac{3\pi }{4}$ лежит в III четверти, которую дуга не покрывает.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге: нижней точке соответствует начало отрезка $\frac{3\pi }{2}$, точке $-\frac{\pi }{4}$ — $2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$, верхней точке — $2\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{2}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\frac{\pi }{2}+\pi k$: $\frac{3\pi }{2}-\pi =\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{5\pi }{2}+\pi =\frac{7\pi }{2}>3\pi$. Для серии $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$: $-\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{15\pi }{4}>3\pi$. Серия $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $2\pi -\frac{3\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}$, а $4\pi -\frac{3\pi }{4}=\frac{13\pi }{4}>3\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi }{2}$; $\frac{7\pi }{4}$; $\frac{5\pi }{2}$.