ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По основному тригонометрическому тождеству $2-2{\cos }^{2}x=2\left(1-{\cos }^{2}x\right)=2{\sin }^{2}x$.

Синус — нечётная функция, поэтому $\sin (x-\pi )=-\sin (\pi -x)$, а по формуле приведения $\sin (\pi -x)=\sin x$. Значит, $\sin (x-\pi )=-\sin x$ и $-2\sin (x-\pi )=2\sin x$. Уравнение принимает вид

$$2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}+2\sin x.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$2{\sin }^{2}x-2\sin x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$$2\sin x\left(\sin x-1\right)+\sqrt{2}\left(\sin x-1\right)=0\iff \left(\sin x-1\right)\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=1,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Синус равен $1$ только в верхней точке окружности: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$. Синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точках $-\frac{\pi }{4}$ (IV четверть) и $-\frac{3\pi }{4}$ (III четверть). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Промежуток $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-2\pi$ — правая точка окружности, конец $-\frac{\pi }{2}=-2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

На дуге лежат верхняя точка (серия $\frac{\pi }{2}+2\pi k$) и точка $-\frac{3\pi }{4}$ в III четверти. Точка $-\frac{\pi }{4}$ лежит в IV четверти, которую дуга не покрывает.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге: верхней точке соответствует $-2\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{3\pi }{2}$, точке III четверти — $-\frac{3\pi }{4}$ (это $-2\pi +\frac{5\pi }{4}$). Оба числа лежат в промежутке: $-2\pi <-\frac{3\pi }{2}<-\frac{3\pi }{4}<-\frac{\pi }{2}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\frac{\pi }{2}+2\pi k$: $-\frac{7\pi }{2}<-2\pi$ и $\frac{\pi }{2}>-\frac{\pi }{2}$. Для серии $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$: $-\frac{11\pi }{4}<-2\pi$ и $\frac{5\pi }{4}>-\frac{\pi }{2}$. Серия $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ промежуток пропускает: $-\frac{9\pi }{4}<-2\pi$, а $-\frac{\pi }{4}>-\frac{\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{3\pi }{2}$; $-\frac{3\pi }{4}$.