ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Тогда по свойствам степеней

$$4^{\cos 2x}=4^{1-2{\sin }^{2}x}=\frac{4}{4^{2{\sin }^{2}x}}=\frac{4}{{\left(4^2\right)}^{{\sin }^{2}x}}=\frac{4}{16^{{\sin }^{2}x}}.$$

Уравнение принимает вид

$$8\cdot 16^{{\sin }^{2}x}-\frac{8}{16^{{\sin }^{2}x}}=63.$$

Сделаем замену $t=16^{{\sin }^{2}x}$. Так как $0⩽{\sin }^{2}x⩽1$, а функция $y=16^s$ возрастает, то $16^0⩽t⩽16^1$, то есть $1⩽t⩽16$. В частности, $t>0$. Получаем

$$8t-\frac{8}{t}=63.$$

Умножим обе части на $t>0$ — это равносильный переход:

$$8t^2-8=63t\iff 8t^2-63t-8=0.$$

Найдём дискриминант: $D=63^2+4\cdot 8\cdot 8=3969+256=4225=65^2$. Тогда

$$t_1=\frac{63-65}{16}=-\frac{1}{8},t_2=\frac{63+65}{16}=8.$$

Корень $t_1=-\frac{1}{8}$ не подходит, так как $t⩾1$. Корень $t_2=8$ лежит в промежутке $[1;16]$. Сделаем обратную замену и приведём обе части к основанию $2$:

$$16^{{\sin }^{2}x}=8\iff 2^{4{\sin }^{2}x}=2^3\iff 4{\sin }^{2}x=3\iff {\sin }^{2}x=\frac{3}{4}.$$

Переход от равенства степеней к равенству показателей равносилен, так как показательная функция с основанием $2$ принимает каждое значение ровно один раз. Отсюда

$$\sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Этим значениям синуса соответствуют четыре точки окружности: $\frac{\pi }{3}$, $\frac{2\pi }{3}$, $-\frac{2\pi }{3}$, $-\frac{\pi }{3}$. Точки $\frac{\pi }{3}$ и $-\frac{2\pi }{3}$ диаметрально противоположны, как и точки $-\frac{\pi }{3}$ и $\frac{2\pi }{3}$, поэтому все решения можно записать двумя сериями с периодом $\pi$:

$$x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{7\pi }{2}=4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $5\pi =4\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

На дуге лежат точки $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть), $\frac{\pi }{3}$ (I четверть) и $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть). Точка $-\frac{2\pi }{3}$ лежит в III четверти и дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге: $4\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{11\pi }{3}$, $4\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}$, $4\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{14\pi }{3}$. Проверим в шестых долях: отрезок — это $\left[\frac{21\pi }{6};\frac{30\pi }{6}\right]$, а корни равны $\frac{22\pi }{6}$, $\frac{26\pi }{6}$, $\frac{28\pi }{6}$.

Проверим соседние значения (период серий равен $\pi$). Для серии $\frac{\pi }{3}+\pi k$: $\frac{13\pi }{3}-\pi =\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}<\frac{21\pi }{6}$ и $\frac{13\pi }{3}+\pi =\frac{16\pi }{3}>5\pi$. Для серии $-\frac{\pi }{3}+\pi k$: $\frac{11\pi }{3}-\pi =\frac{8\pi }{3}<\frac{7\pi }{2}$ и $\frac{14\pi }{3}+\pi =\frac{17\pi }{3}>5\pi$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi }{3}$; $\frac{13\pi }{3}$; $\frac{14\pi }{3}$.