ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем $2\cos x$ из двух слагаемых с косинусом:

$$2{\cos }^{3}x-2\cos x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x=0\iff 2\cos x\left({\cos }^{2}x-1\right)-\sqrt{3}{\sin }^{2}x=0.$$

Из основного тригонометрического тождества ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ следует ${\cos }^{2}x-1=-{\sin }^{2}x$. Подставим:

$$-2\cos x{\sin }^{2}x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x=0.$$

Вынесем общий множитель $-{\sin }^{2}x$:

$$-{\sin }^{2}x\left(2\cos x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}{\sin }^{2}x=0,\\ 2\cos x+\sqrt{3}=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Синус равен нулю в правой и левой точках окружности: $x=\pi k$. Косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ в точках $\frac{5\pi }{6}$ (II четверть) и $-\frac{5\pi }{6}$ (III четверть):

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-3\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки — это III четверть.

На дуге лежат левая точка серии $\pi k$ (она совпадает с началом дуги) и точка $-\frac{5\pi }{6}$ в III четверти. Точка $\frac{5\pi }{6}$ лежит во II четверти и дугой не покрыта, правая точка — тоже.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге: левой точке соответствует начало отрезка $-3\pi$, точке $-\frac{5\pi }{6}$ — $-2\pi -\frac{5\pi }{6}=-\frac{17\pi }{6}$. Проверим в шестых долях: отрезок — это $\left[-\frac{18\pi }{6};-\frac{15\pi }{6}\right]$, и $-18<-17<-15$.

Проверим соседние значения. Для серии $\pi k$: $-3\pi -\pi =-4\pi <-3\pi$ и $-3\pi +\pi =-2\pi >-\frac{5\pi }{2}$. Для серии $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$: $-\frac{29\pi }{6}<-3\pi$ и $-\frac{5\pi }{6}>-\frac{5\pi }{2}$. Серия $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-4\pi +\frac{5\pi }{6}=-\frac{19\pi }{6}<-\frac{18\pi }{6}$, а $-2\pi +\frac{5\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}>-\frac{15\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi$; $-\frac{17\pi }{6}$.