ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Косинус — чётная функция, поэтому $\cos (-x)=\cos x$. Из основного тригонометрического тождества ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ выразим ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ — так всё уравнение запишется через одну функцию $\cos x$:

$$2\left(1-{\cos }^{2}x\right)+\cos x-1=0\iff -2{\cos }^{2}x+\cos x+1=0.$$

Умножим обе части на $-1$:

$$2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$ (косинус принимает значения только из этого промежутка):

$$2t^2-t-1=0.$$

Найдём дискриминант: $D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9=3^2$. Тогда

$$t_1=\frac{1-3}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2},t_2=\frac{1+3}{2\cdot 2}=1.$$

Оба корня лежат в промежутке $[-1;1]$. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}\cos x=1,\\ \cos x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Косинус равен $1$ только в правой точке окружности: $x=2\pi k$. Косинус равен $-\frac{1}{2}$ в точках $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть) и $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть), симметричных относительно горизонтальной оси. Получаем

$$[\begin{array}{l}x=2\pi k,\\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{9\pi }{2};-3\pi \right]$ имеет длину $-3\pi +\frac{9\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{9\pi }{2}=-4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

На дуге лежат правая точка (серия $2\pi k$) и точка $\frac{2\pi }{3}$ во II четверти. Точка $-\frac{2\pi }{3}$ лежит в III четверти, которую дуга не покрывает.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге: правой точке соответствует $-4\pi$, точке $\frac{2\pi }{3}$ — $-4\pi +\frac{2\pi }{3}=-\frac{10\pi }{3}$.

Проверим соседние значения. Для серии $2\pi k$: $-4\pi -2\pi =-6\pi <-\frac{9\pi }{2}$ и $-4\pi +2\pi =-2\pi >-3\pi$. Для серии $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$: $-\frac{10\pi }{3}-2\pi =-\frac{16\pi }{3}<-\frac{9\pi }{2}$ и $-\frac{10\pi }{3}+2\pi =-\frac{4\pi }{3}>-3\pi$. Серия $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{14\pi }{3}<-\frac{9\pi }{2}$ (в шестых долях $-\frac{28\pi }{6}<-\frac{27\pi }{6}$), а следующее значение $-\frac{8\pi }{3}>-3\pi$.

Ответ: а) $2\pi k$, $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-4\pi$; $-\frac{10\pi }{3}$.