ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Раскроем синус разности по формуле $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$:

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x-\cos x\right).$$

Возведём в квадрат и применим основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$:

$${\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}\left({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\right)=\frac{1}{2}\left(1-2\sin x\cos x\right).$$

Подставим в уравнение и умножим обе части на $2$:

$$2{\cos }^{2}x+1-2\sin x\cos x=1\iff 2{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $2\cos x$:

$$2\cos x\left(\cos x-\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x-\sin x=0.\end{array}$$

Первое уравнение: косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности, $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$.

Второе уравнение однородное. Если бы в нём $\cos x=0$, то $\sin x=\pm 1$ и $\cos x-\sin x=\mp 1\ne 0$. Значит, на решениях второго уравнения $\cos x\ne 0$, и деление на $\cos x$ — равносильный переход:

$$1-\mathrm{tg}x=0\iff \mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k.$$

Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{4}+\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $[5\pi ;6\pi ]$ имеет длину $\pi <2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $5\pi =4\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $6\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки — нижняя полуокружность, то есть III и IV четверти.

Серия $\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт верхнюю и нижнюю точки окружности; на дуге лежит нижняя. Серия $\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт диаметрально противоположные точки $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) и $\frac{5\pi }{4}$ (III четверть); на дуге лежит вторая.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге: точке $\frac{5\pi }{4}$ соответствует $4\pi +\frac{5\pi }{4}=\frac{21\pi }{4}$, нижней точке — $4\pi +\frac{3\pi }{2}=\frac{11\pi }{2}$.

Проверим соседние значения (период обеих серий равен $\pi$). Для серии $\frac{\pi }{4}+\pi k$: $\frac{21\pi }{4}-\pi =\frac{17\pi }{4}<5\pi$ и $\frac{21\pi }{4}+\pi =\frac{25\pi }{4}>6\pi$. Для серии $\frac{\pi }{2}+\pi k$: $\frac{11\pi }{2}-\pi =\frac{9\pi }{2}<5\pi$ и $\frac{11\pi }{2}+\pi =\frac{13\pi }{2}>6\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{21\pi }{4}$; $\frac{11\pi }{2}$.