ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos (\pi +2x)=-\cos 2x$: угол $\pi$ отсчитывается от горизонтальной оси, поэтому косинус остаётся косинусом, а угол $\pi +2x$ при малых $x>0$ лежит в III четверти, где косинус отрицателен. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, поэтому

$$\cos (\pi +2x)=-\left(1-2{\sin }^{2}x\right)=2{\sin }^{2}x-1.$$

Упростим корни: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Уравнение принимает вид

$$2+2\left(2{\sin }^{2}x-1\right)-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{6}-2\sqrt{3}\sin x\iff 4{\sin }^{2}x-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{6}-2\sqrt{3}\sin x.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$4{\sin }^{2}x-2\sqrt{2}\sin x+2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{6}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых. Учтём, что $\sqrt{6}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}$:

$$2\sin x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)+\sqrt{3}\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)=0\iff \left(2\sin x-\sqrt{2}\right)\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2},\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точках $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) и $\frac{3\pi }{4}$ (II четверть). Синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ в точках $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть) и $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $2\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

На дуге лежат точки $\frac{3\pi }{4}$ (II четверть), $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть) и $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть). Точка $\frac{\pi }{4}$ лежит в I четверти, которую дуга не покрывает.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге: $\frac{3\pi }{4}$, $2\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$, $2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$.

Проверим соседние значения: $\frac{3\pi }{4}\pm 2\pi$ дают $-\frac{5\pi }{4}$ и $\frac{11\pi }{4}$, $\frac{4\pi }{3}\pm 2\pi$ — $-\frac{2\pi }{3}$ и $\frac{10\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{3}\pm 2\pi$ — $-\frac{\pi }{3}$ и $\frac{11\pi }{3}$; все они вне отрезка. Серия $\frac{\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{2}$, а $\frac{9\pi }{4}>2\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi }{4}$; $\frac{4\pi }{3}$; $\frac{5\pi }{3}$.