ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Вынесем $2\cos x$ за скобки в первых двух слагаемых:

$$2\cos x\left({\cos }^{2}x-1\right)+{\sin }^{2}x=0.$$

Из основного тригонометрического тождества ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ следует ${\cos }^{2}x-1=-{\sin }^{2}x$. Подставим:

$$-2\cos x{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x=0.$$

Вынесем общий множитель ${\sin }^{2}x$:

$${\sin }^{2}x\left(1-2\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}{\sin }^{2}x=0,\\ 1-2\cos x=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Синус равен нулю в правой и левой точках окружности: $x=\pi k$. Косинус равен $\frac{1}{2}$ в точках $\frac{\pi }{3}$ (I четверть) и $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть), симметричных относительно горизонтальной оси:

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

На дуге лежат: точка $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть), правая точка серии $\pi k$, точка $\frac{\pi }{3}$ (I четверть) и левая точка — она совпадает с концом дуги.

Найдём числа, соответствующие этим точкам: точке $-\frac{\pi }{3}$ соответствует $2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$, правой точке — $2\pi$, точке $\frac{\pi }{3}$ — $2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$, левой точке — конец отрезка $3\pi$.

Проверим соседние значения. Для серии $\pi k$: $2\pi -\pi =\pi <\frac{3\pi }{2}$ и $3\pi +\pi =4\pi >3\pi$. Для серии $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$: $\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{5\pi }{3}+2\pi =\frac{11\pi }{3}>3\pi$. Для серии $\frac{\pi }{3}+2\pi k$: $\frac{7\pi }{3}-2\pi =\frac{\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{7\pi }{3}+2\pi =\frac{13\pi }{3}>3\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{3}$; $2\pi$; $\frac{7\pi }{3}$; $3\pi$.