a) Решите уравнение 2log₂²(2sin x)-7log₂(2sin x)+3=0. б) Найдите все… — 14 задание ЕГЭ профиль

№14 Тригонометрия и логарифмы средняя 2017 развёрнутое

a) Решите уравнение $2 lo g_{2}^{2} (2 sin x) - 7 lo g_{2} (2 sin x) + 3 = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{π}{2}; 2 π] .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

а) Запись $lo g_{2}^{2} (2 sin x)$ означает квадрат логарифма: $(lo g_{2} (2 sin x))^{2}$ .

ОДЗ: аргумент логарифма положителен:

$2 sin x > 0 \Leftrightarrow sin x > 0.$

Сделаем замену $t = lo g_{2} (2 sin x)$ . Уравнение становится квадратным:

$2 t^{2} - 7 t + 3 = 0.$

Найдём дискриминант: $D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^{2}$ . Тогда

$t_{1} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, t_{2} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = 3.$

Сделаем обратную замену. По определению логарифма $lo g_{2} A = c \Leftrightarrow A = 2^{c}$ , причём $2^{c} > 0$ , так что условие ОДЗ на таких решениях выполняется автоматически:

$[lo g_{2} (2 sin x) = 3, lo g_{2} (2 sin x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [2 sin x = 2^{3} = 8, 2 sin x = 2^{\frac{1}{2}} = 2 \Leftrightarrow sin x = 4, sin x = \frac{2}{2} .$

Уравнение $sin x = 4$ решений не имеет, так как $∣ sin x ∣ ⩽ 1$ . Значение $sin x = \frac{2}{2}$ положительно, условие $sin x > 0$ выполнено.

Синус равен $\frac{2}{2}$ в точках I четверти (угол $\frac{π}{4}$ ) и II четверти (угол $π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ ):

$x = \frac{π}{4} + 2 π k, x = \frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z .$

б) Отрезок $[\frac{π}{2}; 2 π]$ имеет длину $\frac{3 π}{2} < 2 π$ , поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{π}{2}$ — верхняя точка окружности, конец $2 π$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

Точка $\frac{3 π}{4}$ лежит во II четверти — на дуге. Точка $\frac{π}{4}$ лежит в I четверти, которую дуга не покрывает.

Отбор корней на единичной окружности

Точке II четверти соответствует число $\frac{3 π}{4}$ : $\frac{π}{2} < \frac{3 π}{4} < 2 π$ . Соседние значения серии $\frac{3 π}{4} - 2 π = - \frac{5 π}{4}$ и $\frac{3 π}{4} + 2 π = \frac{11 π}{4}$ лежат вне отрезка. Серия $\frac{π}{4} + 2 π k$ отрезок пропускает: $\frac{π}{4} < \frac{π}{2}$ , а $\frac{9 π}{4} > 2 π$ .

Ответ: а) $\frac{π}{4} + 2 π k$ , $\frac{3 π}{4} + 2 π k$ , $k \in Z$ ; б) $\frac{3 π}{4}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №14