ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Раскроем косинус разности по формуле $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$:

$$\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos x\cos \frac{\pi }{3}+\sin x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x.$$

По формуле приведения $\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=-\cos x$: угол $\frac{3\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}+x$ лежит в IV четверти, где синус отрицателен, — знак минус.

Подставим оба выражения в уравнение:

$$4\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)-2\cos x=\sqrt{3}\iff 2\cos x+2\sqrt{3}\sin x-2\cos x=\sqrt{3}.$$

Слагаемые с косинусом взаимно уничтожаются:

$$2\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}\iff \sin x=\frac{1}{2}.$$

Синус равен $\frac{1}{2}$ в точках I четверти (угол $\frac{\pi }{6}$) и II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$):

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{17\pi }{2};10\pi \right]$ имеет длину $10\pi -\frac{17\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{17\pi }{2}=8\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $10\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

Точка $\frac{5\pi }{6}$ лежит во II четверти — на дуге. Точка $\frac{\pi }{6}$ лежит в I четверти, которую дуга не покрывает.

Точке II четверти на нашем отрезке соответствует число $8\pi +\frac{5\pi }{6}=\frac{53\pi }{6}$. Проверим в шестых долях: отрезок — это $\left[\frac{51\pi }{6};\frac{60\pi }{6}\right]$, и $51<53<60$.

Соседние значения этой серии $\frac{53\pi }{6}-2\pi =\frac{41\pi }{6}$ и $\frac{53\pi }{6}+2\pi =\frac{65\pi }{6}$ лежат вне отрезка. Серия $\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $8\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{49\pi }{6}<\frac{51\pi }{6}$, а $10\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{61\pi }{6}>\frac{60\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{53\pi }{6}$.