ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Сначала упростим $\cos \left(\frac{15\pi }{2}+x\right)$. Запишем $\frac{15\pi }{2}=8\pi -\frac{\pi }{2}$; косинус имеет период $2\pi$, поэтому $8\pi$ (четыре полных оборота) можно отбросить:

$$\cos \left(\frac{15\pi }{2}+x\right)=\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x.$$

Здесь использована чётность косинуса $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$ и формула приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$.

ОДЗ: знаменатели дробей не равны нулю, то есть ${\sin }^{2}x\ne 0$ и $\sin x\ne 0$. Оба условия означают одно и то же:

$$\sin x\ne 0.$$

На ОДЗ уравнение принимает вид

$$\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{3}{\sin x}=-2\iff \frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{3}{\sin x}+2=0.$$

Сделаем замену $t=\frac{1}{\sin x}$. Так как $0<|\sin x|⩽1$, то $|t|⩾1$. Уравнение становится квадратным:

$$t^2+3t+2=0.$$

Найдём дискриминант: $D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=1$. Тогда

$$t_1=\frac{-3-1}{2}=-2,t_2=\frac{-3+1}{2}=-1.$$

Оба корня удовлетворяют условию $|t|⩾1$. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}\frac{1}{\sin x}=-2,\\ \frac{1}{\sin x}=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=-\frac{1}{2},\\ \sin x=-1.\end{array}$$

Оба значения синуса отличны от нуля, поэтому условие ОДЗ выполнено и посторонних корней нет.

Синус равен $-1$ только в нижней точке окружности: $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$. Синус равен $-\frac{1}{2}$ в точках IV четверти (угол $-\frac{\pi }{6}$) и III четверти (угол $-\frac{5\pi }{6}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ имеет длину $4\pi -\frac{5\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $4\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

Все три точки из пункта а) лежат в нижней полуокружности: точка серии $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ — в III четверти, нижняя точка, точка серии $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ — в IV четверти. Все они лежат на выделенной дуге.

Найдём числа, соответствующие этим точкам: $4\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{19\pi }{6}$, $4\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{2}$, $4\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{23\pi }{6}$.

Проверим соседние значения: каждая серия имеет период $2\pi$, а отрезок короче $2\pi$. Уменьшив найденные числа на $2\pi$, получим $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{11\pi }{6}$ — все меньше $\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$. Увеличив на $2\pi$, получим $\frac{31\pi }{6}$, $\frac{11\pi }{2}$, $\frac{35\pi }{6}$ — все больше $4\pi$. Значит, других корней на отрезке нет.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{19\pi }{6}$; $\frac{7\pi }{2}$; $\frac{23\pi }{6}$.