ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\frac{x}{2}\right)=\cos \frac{x}{2}$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}+\frac{x}{2}$ лежит во II четверти, где синус положителен, — знак плюс. Уравнение принимает вид

$$\sin x-\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}=0.$$

В уравнении есть аргументы $x$ и $\frac{x}{2}$. Сведём всё к одному аргументу $\frac{x}{2}$ с помощью формулы синуса двойного угла: $\sin x=\sin \left(2\cdot \frac{x}{2}\right)=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$. Получаем

$$2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}=0.$$

Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{2}$ за скобки:

$$\cos \frac{x}{2}\left(2\sin \frac{x}{2}-\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos \frac{x}{2}=0,\\ \sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в точках $\frac{\pi }{3}$ (I четверть) и $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$ (II четверть): $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ или $\frac{x}{2}=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$. Умножим каждое равенство на $2$ — это равносильный переход, при этом удваивается и период:

$$[\begin{array}{l}x=\pi +2\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+4\pi k,\\ x=\frac{4\pi }{3}+4\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $[8\pi ;11\pi ]$ имеет длину $3\pi >2\pi$, а две серии имеют период $4\pi$, поэтому окружность здесь неудобна. Отберём корни двойными неравенствами: для каждой серии найдём все целые $k$, при которых корень попадает на отрезок. Делить на $\pi >0$ можно, знаки неравенств при этом сохраняются.

Серия $x=\pi +2\pi k$:

$$8\pi ⩽\pi +2\pi k⩽11\pi \iff 8⩽1+2k⩽11\iff 7⩽2k⩽10\iff \frac{7}{2}⩽k⩽5.$$

Целые $k$ здесь — $4$ и $5$. При $k=4$ получаем $x=\pi +8\pi =9\pi$, при $k=5$ — $x=\pi +10\pi =11\pi$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+4\pi k$:

$$8\pi ⩽\frac{2\pi }{3}+4\pi k⩽11\pi \iff 8-\frac{2}{3}⩽4k⩽11-\frac{2}{3}\iff \frac{22}{3}⩽4k⩽\frac{31}{3}\iff \frac{11}{6}⩽k⩽\frac{31}{12}.$$

Так как $1<\frac{11}{6}<2$ и $2<\frac{31}{12}<3$, подходит только $k=2$: $x=\frac{2\pi }{3}+8\pi =\frac{26\pi }{3}$.

Серия $x=\frac{4\pi }{3}+4\pi k$:

$$8\pi ⩽\frac{4\pi }{3}+4\pi k⩽11\pi \iff 8-\frac{4}{3}⩽4k⩽11-\frac{4}{3}\iff \frac{20}{3}⩽4k⩽\frac{29}{3}\iff \frac{5}{3}⩽k⩽\frac{29}{12}.$$

Так как $1<\frac{5}{3}<2$ и $2<\frac{29}{12}<3$, подходит только $k=2$: $x=\frac{4\pi }{3}+8\pi =\frac{28\pi }{3}$.

Расположим найденные корни по возрастанию: $\frac{26\pi }{3}\approx 8,67\pi$, $9\pi$, $\frac{28\pi }{3}\approx 9,33\pi$, $11\pi$.

Ответ: а) $\pi +2\pi k$, $\frac{2\pi }{3}+4\pi k$, $\frac{4\pi }{3}+4\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{26\pi }{3}$; $9\pi$; $\frac{28\pi }{3}$; $11\pi$.