ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — нечётная функция, поэтому $\sin (-x)=-\sin x$. Косинус двойного угла выразим через синус: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Из трёх формул косинуса двойного угла выбираем именно эту, потому что второе слагаемое тоже содержит синус — тогда всё уравнение запишется через одну функцию. Подставим:

$$1-2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0\iff -2{\sin }^{2}x-\sin x=0.$$

Умножим обе части на $-1$:

$$2{\sin }^{2}x+\sin x=0.$$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$$\sin x(2\sin x+1)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (оба множителя определены при всех $x$):

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Синус равен нулю в правой и левой точках единичной окружности, то есть при $x=\pi k$. Синус равен $-\frac{1}{2}$ в двух точках нижней полуокружности: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{6}$) и в III четверти (угол $-\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ имеет длину $2\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $2\pi$ — правая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти.

Серия $x=\pi k$ даёт левую точку (она лежит на дуге) и правую точку (она совпадает с концом дуги). Точка серии $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ лежит в III четверти, точка серии $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ — в IV четверти, обе на дуге.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Левая точка — это $\pi$. Точке III четверти соответствует $2\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$, точке IV четверти — $2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}$. Правая точка — конец отрезка $2\pi$.

Проверим соседние значения серий. Для серии $x=\pi k$: $\pi -\pi =0<\frac{\pi }{2}$ и $2\pi +\pi =3\pi >2\pi$. Для серии $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$: $\frac{7\pi }{6}-2\pi =-\frac{5\pi }{6}<\frac{\pi }{2}$ и $\frac{7\pi }{6}+2\pi =\frac{19\pi }{6}>2\pi$. Для серии $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$: $\frac{11\pi }{6}-2\pi =-\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}$ и $\frac{11\pi }{6}+2\pi =\frac{23\pi }{6}>2\pi$. Значит, других корней на отрезке нет.

Ответ: а) $\pi k$, $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\pi$; $\frac{7\pi }{6}$; $\frac{11\pi }{6}$; $2\pi$.