ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — нечётная функция, поэтому $\sin (x-\pi )=-\sin (\pi -x)$, а по формуле приведения $\sin (\pi -x)=\sin x$ (угол $\pi -x$ при малых $x>0$ лежит во II четверти, где синус положителен). Значит, $\sin (x-\pi )=-\sin x$ и $-\sqrt{3}\sin (x-\pi )=\sqrt{3}\sin x$.

Из основного тригонометрического тождества ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Подставим:

$$2\left(1-{\sin }^{2}x\right)+\sqrt{3}\sin x-2=0\iff -2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x=0.$$

Умножим обе части на $-1$ и вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Синус равен нулю в правой и левой точках окружности: $x=\pi k$. Синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в I четверти (угол $\frac{\pi }{3}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ имеет длину $-\frac{3\pi }{2}+3\pi =\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через III, IV и I четверти.

Левая точка совпадает с началом дуги, правая лежит на дуге. Точка $\frac{\pi }{3}$ (I четверть) — на дуге, точка $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть) дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Левая точка — начало отрезка $-3\pi$. Правая точка — $-3\pi +\pi =-2\pi$. Точка I четверти — $-2\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{5\pi }{3}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\pi k$: $-4\pi <-3\pi$ и $-\pi >-\frac{3\pi }{2}$. Для серии $\frac{\pi }{3}+2\pi k$: $-\frac{11\pi }{3}<-3\pi$ и $\frac{\pi }{3}>-\frac{3\pi }{2}$. Серия $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{10\pi }{3}<-3\pi$, а $-\frac{4\pi }{3}=-\frac{8\pi }{6}>-\frac{9\pi }{6}=-\frac{3\pi }{2}$.

Ответ: а) $\pi k$, $\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi$; $-2\pi$; $-\frac{5\pi }{3}$.