ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Вынесем $\sqrt{2}\sin x$ за скобки в первых двух слагаемых:

$$\sqrt{2}\sin x\left({\sin }^{2}x-1\right)+{\cos }^{2}x=0.$$

Из основного тригонометрического тождества ${\sin }^{2}x-1=-{\cos }^{2}x$:

$$-\sqrt{2}\sin x{\cos }^{2}x+{\cos }^{2}x=0.$$

Вынесем общий множитель ${\cos }^{2}x$ за скобки:

$${\cos }^{2}x\left(1-\sqrt{2}\sin x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в I четверти (угол $\frac{\pi }{4}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$ имеет длину $-\pi +\frac{5\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $-\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

Нижняя точка совпадает с началом дуги, верхняя точка лежит на дуге. Точки $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) и $\frac{3\pi }{4}$ (II четверть) тоже лежат на дуге.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Нижняя точка — начало отрезка $-\frac{5\pi }{2}$. Остальные отсчитываем от $-2\pi$: точка I четверти — $-2\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{7\pi }{4}$, верхняя точка — $-2\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{3\pi }{2}$, точка II четверти — $-2\pi +\frac{3\pi }{4}=-\frac{5\pi }{4}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\frac{\pi }{2}+\pi k$: $-\frac{7\pi }{2}<-\frac{5\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{2}>-\pi$. Для серии $\frac{\pi }{4}+2\pi k$: $-\frac{15\pi }{4}<-\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{\pi }{4}>-\pi$. Для серии $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$: $-\frac{13\pi }{4}<-\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{3\pi }{4}>-\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{5\pi }{2}$; $-\frac{7\pi }{4}$; $-\frac{3\pi }{2}$; $-\frac{5\pi }{4}$.