ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$: угол $\pi$ отсчитывается от горизонтальной оси, поэтому синус остаётся синусом, а при малых $x>0$ угол $\pi +x$ лежит в III четверти, где синус отрицателен. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x=0.$$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$$\sin x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Синус равен нулю в правой и левой точках окружности: $x=\pi k$. Косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в двух точках правой полуокружности, симметричных относительно горизонтальной оси: $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$. Итак,

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-4\pi$ — правая точка окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

Правая точка совпадает с началом дуги, левая точка лежит на дуге. Точка $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) — на дуге, точка $-\frac{\pi }{4}$ (IV четверть) дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Правая точка — начало отрезка $-4\pi$. Точка I четверти — $-4\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{15\pi }{4}$. Левая точка — $-4\pi +\pi =-3\pi$.

Проверим соседние значения. Для серии $\pi k$: $-5\pi <-4\pi$ и $-2\pi >-\frac{5\pi }{2}$. Для серии $\frac{\pi }{4}+2\pi k$: $-\frac{23\pi }{4}<-4\pi$ и $-\frac{7\pi }{4}>-\frac{5\pi }{2}$. Серия $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{17\pi }{4}<-4\pi$, а $-\frac{9\pi }{4}>-\frac{10\pi }{4}=-\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-4\pi$; $-\frac{15\pi }{4}$; $-3\pi$.