ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим произведение косинусов. По формулам косинуса суммы и разности $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ и с учётом $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x-\sin x\right),\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x+\sin x\right).$$

Перемножим их и применим формулу разности квадратов, а затем формулу косинуса двойного угла ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$:

$$\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos x+\sin x\right)=\frac{1}{2}\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)=\frac{1}{2}\cos 2x.$$

Уравнение принимает вид

$$\frac{1}{2}\sin x\cos 2x=\cos 2x.$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $\cos 2x$. Делить на $\cos 2x$ нельзя — так мы потеряли бы корни, при которых он равен нулю:

$$\cos 2x\left(\frac{1}{2}\sin x-1\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos 2x=0,\\ \sin x=2.\end{array}$$

Уравнение $\sin x=2$ решений не имеет, так как $-1⩽\sin x⩽1$.

Косинус равен нулю, когда его аргумент соответствует верхней или нижней точке окружности:

$$2x=\frac{\pi }{2}+\pi k\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}.$$

На единичной окружности эта серия даёт четыре точки — середины всех четвертей: $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{4}$.

б) Отрезок $\left[-\frac{11\pi }{2};-4\pi \right]$ имеет длину $-4\pi +\frac{11\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{11\pi }{2}=-6\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $-4\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

На дуге лежат середины II, III и IV четвертей, середина I четверти дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге. Отсчитываем от $-6\pi$: середина II четверти — $-6\pi +\frac{3\pi }{4}=-\frac{21\pi }{4}$, середина III четверти — $-6\pi +\frac{5\pi }{4}=-\frac{19\pi }{4}$, середина IV четверти — $-6\pi +\frac{7\pi }{4}=-\frac{17\pi }{4}$.

Проверим двойным неравенством, что других корней нет. Разделим $-\frac{11\pi }{2}⩽\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}⩽-4\pi$ на $\pi$, вычтем $\frac{1}{4}$ и умножим на 2:

$$-\frac{23}{4}⩽\frac{k}{2}⩽-\frac{17}{4}\iff -\frac{23}{2}⩽k⩽-\frac{17}{2}.$$

Целые решения: $k=-11,-10,-9$ — ровно три корня, и они совпадают с найденными.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{21\pi }{4}$; $-\frac{19\pi }{4}$; $-\frac{17\pi }{4}$.