ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) Найдём ограничения. Аргументы логарифмов положительны при всех $x$:

$$5x^2+20⩾20>0,\sqrt{5x^4+30}⩾\sqrt{30}>0.$$

Значит, уравнение определено при всех действительных $x$.

Преобразуем правую часть. Так как $\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{5x^4+30}={\left(5x^4+30\right)}^{\frac{1}{2}}$, воспользуемся свойством ${\log }_{a^k}{b}^k={\log }_{a}b$ (при $b>0$):

$${\log }_{\sqrt{5}}\sqrt{5x^4+30}={\log }_{5^{\frac{1}{2}}}{\left(5x^4+30\right)}^{\frac{1}{2}}={\log }_5\left(5x^4+30\right).$$

В левой части запишем $1={\log }_{5}5$ и применим формулу логарифма произведения ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$ (при $b>0$, $c>0$):

$${\log }_{5}5+{\log }_5\left(5x^2+20\right)={\log }_5\left(5\left(5x^2+20\right)\right)={\log }_5\left(25x^2+100\right).$$

Уравнение принимает вид

$${\log }_5\left(25x^2+100\right)={\log }_5\left(5x^4+30\right).$$

Функция $y={\log }_{5}t$ строго возрастает, поэтому логарифмы положительных чисел равны тогда и только тогда, когда равны сами числа:

$$25x^2+100=5x^4+30\iff 5x^4-25x^2-70=0.$$

Разделим обе части на 5:

$$x^4-5x^2-14=0.$$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t=x^2$, где $t⩾0$:

$$t^2-5t-14=0.$$

По теореме, обратной теореме Виета, ищем два числа с суммой $5$ и произведением $-14$: это $7$ и $-2$, так как $7+(-2)=5$ и $7\cdot (-2)=-14$. Значит, $t_1=7$, $t_2=-2$.

Корень $t_2=-2$ не подходит, так как $t=x^2⩾0$. Сделаем обратную замену для $t_1$:

$$x^2=7\iff x=\pm \sqrt{7}.$$

б) Сравним корни с концами отрезка $\left[-3,2;2,6\right]$.

Корень $-\sqrt{7}$. Так как $4<7<9$, то $2<\sqrt{7}<3$, а значит

$$-3,2<-3<-\sqrt{7}<-2<2,6.$$

Корень $-\sqrt{7}$ принадлежит отрезку.

Корень $\sqrt{7}$. Числа $\sqrt{7}$ и $2,6$ положительны, поэтому их можно сравнить через квадраты: ${\left(\sqrt{7}\right)}^2=7$, а $2,6^2=6,76$. Так как $7>6,76$, то $\sqrt{7}>2,6$, и корень $\sqrt{7}$ лежит правее отрезка.

Ответ: а) $\pm \sqrt{7}$; б) $-\sqrt{7}$.