ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Кроме того, логарифм определён только при положительном аргументе. Получаем систему

$$\{\begin{array}{l}{\log }_2^2(\sin x)+{\log }_2(\sin x)=0,\\ \sin x>0,\\ 2\cos x-\sqrt{3}\ne 0.\end{array}$$

Решим уравнение. Вынесем общий множитель ${\log }_2(\sin x)$ за скобки:

$${\log }_2(\sin x)\cdot \left({\log }_2(\sin x)+1\right)=0\iff [\begin{array}{l}{\log }_2(\sin x)=0,\\ {\log }_2(\sin x)=-1.\end{array}$$

По определению логарифма ${\log }_{2}a=c$ означает $a=2^c$:

$$[\begin{array}{l}\sin x=2^0=1,\\ \sin x=2^{-1}=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Оба значения положительны, поэтому условие $\sin x>0$ для них выполнено автоматически.

Синус равен $1$ только в верхней точке окружности: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$. Синус равен $\frac{1}{2}$ в I четверти ($x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$) и во II четверти ($x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$).

Теперь учтём знаменатель: $2\cos x\ne \sqrt{3}$, то есть $\cos x\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$. Проверим каждую серию:

• при $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$ имеем $\cos x=0\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$ — серия подходит;
• при $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ имеем $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ — знаменатель равен нулю, серия не подходит;
• при $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ имеем $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$ — серия подходит.

Итак,

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $2\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

Верхняя точка (серия $\frac{\pi }{2}+2\pi k$) совпадает с началом дуги. Точка $\frac{5\pi }{6}$ лежит во II четверти — на дуге.

Дуга лежит в пределах одного оборота от $\frac{\pi }{2}$ до $2\pi$, поэтому отмеченным точкам соответствуют числа $\frac{\pi }{2}$ и $\frac{5\pi }{6}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\frac{\pi }{2}+2\pi k$: $-\frac{3\pi }{2}<\frac{\pi }{2}$ и $\frac{5\pi }{2}>2\pi$. Для серии $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$: $-\frac{7\pi }{6}<\frac{\pi }{2}$ и $\frac{17\pi }{6}>2\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{\pi }{2}$; $\frac{5\pi }{6}$.