ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$, поэтому $2\sqrt{3}\sin 2x=4\sqrt{3}\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$4\sin x{\cos }^{2}x-4\sqrt{3}\sin x\cos x+3\sin x=0.$$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$$\sin x\left(4{\cos }^{2}x-4\sqrt{3}\cos x+3\right)=0.$$

Выражение в скобках — полный квадрат: $4{\cos }^{2}x=(2\cos x{)}^2$, $3={\left(\sqrt{3}\right)}^2$, $4\sqrt{3}\cos x=2\cdot 2\cos x\cdot \sqrt{3}$. По формуле квадрата разности

$$\sin x{\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)}^2=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а квадрат равен нулю только вместе с основанием:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ 2\cos x-\sqrt{3}=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Синус равен нулю в правой и левой точках окружности: $x=\pi k$. Косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в двух точках, симметричных относительно горизонтальной оси: $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$. Итак,

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств: для каждой серии найдём целые $k$, при которых $-\frac{7\pi }{2}⩽x⩽-2\pi$.

Серия $x=\pi k$. Разделим неравенство на $\pi >0$:

$$-\frac{7\pi }{2}⩽\pi k⩽-2\pi \iff -\frac{7}{2}⩽k⩽-2.$$

Целые решения: $k=-3$ и $k=-2$. Получаем $x=-3\pi$ и $x=-2\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$. Разделим на $\pi$, вычтем $\frac{1}{6}$ и разделим на 2:

$$-\frac{7}{2}⩽\frac{1}{6}+2k⩽-2\iff -\frac{22}{6}⩽2k⩽-\frac{13}{6}\iff -\frac{11}{6}⩽k⩽-\frac{13}{12}.$$

Так как $-\frac{11}{6}>-2$ и $-\frac{13}{12}<-1$, между этими числами нет целых. Серия корней на отрезке не даёт.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$. Разделим на $\pi$, прибавим $\frac{1}{6}$ и разделим на 2:

$$-\frac{7}{2}⩽-\frac{1}{6}+2k⩽-2\iff -\frac{20}{6}⩽2k⩽-\frac{11}{6}\iff -\frac{5}{3}⩽k⩽-\frac{11}{12}.$$

Единственное целое решение $k=-1$, ему соответствует

$$x=-\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{13\pi }{6}.$$

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi$; $-\frac{13\pi }{6}$; $-2\pi$.