ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — нечётная функция: $\sin (-x)=-\sin x$. Из основного тригонометрического тождества ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Подставим:

$$2\sin x-2\sqrt{2}\sin x-4\left(1-{\sin }^{2}x\right)=\sqrt{2}-4.$$

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть; слагаемые $-4$ и $+4$ сокращаются:

$$4{\sin }^{2}x+2\sin x-2\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}=0.$$

Сгруппируем слагаемые парами. Из первой пары вынесем $2\sin x$, из второй вынесем $-\sqrt{2}$:

$$2\sin x\left(2\sin x+1\right)-\sqrt{2}\left(2\sin x+1\right)=0.$$

Вынесем общий множитель $2\sin x+1$ за скобки:

$$\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)\left(2\sin x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2},\\ \sin x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в I четверти (угол $\frac{\pi }{4}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$). Синус равен $-\frac{1}{2}$ в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{6}$) и в III четверти (угол $-\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]$ имеет длину $\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

Точки $-\frac{\pi }{6}$ (IV четверть), $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) и $\frac{3\pi }{4}$ (II четверть) лежат на дуге. Точка $-\frac{5\pi }{6}$ (III четверть) дугой не покрыта.

Дуга целиком лежит в пределах одного оборота от $-\frac{\pi }{2}$ до $\pi$, поэтому точкам на ней соответствуют сами числа $-\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\frac{\pi }{4}+2\pi k$: $-\frac{7\pi }{4}<-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{9\pi }{4}>\pi$. Для серии $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$: $-\frac{5\pi }{4}<-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{11\pi }{4}>\pi$. Для серии $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$: $-\frac{13\pi }{6}<-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{11\pi }{6}>\pi$. Серия $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{5\pi }{6}<-\frac{\pi }{2}$, а $\frac{7\pi }{6}>\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi }{6}$; $\frac{\pi }{4}$; $\frac{3\pi }{4}$.