ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Перенесём $2\sin x$ в левую часть и вынесем $2\sin x$ за скобки из первого и последнего слагаемых:

$$2{\sin }^{3}x-2\sin x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0\iff 2\sin x\left({\sin }^{2}x-1\right)-\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0.$$

Из основного тригонометрического тождества ${\sin }^{2}x-1=-{\cos }^{2}x$:

$$-2\sin x{\cos }^{2}x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0.$$

Вынесем общий множитель $-{\cos }^{2}x$ за скобки:

$$-{\cos }^{2}x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{3}$) и в III четверти (угол $-\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-4\pi$ — правая точка окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

Верхняя и нижняя точки (серия $\frac{\pi }{2}+\pi k$) лежат на дуге, нижняя совпадает с её концом. Точка $-\frac{2\pi }{3}$ лежит в III четверти — на дуге. Точка $-\frac{\pi }{3}$ лежит в IV четверти — дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге. Верхняя точка — $-4\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{7\pi }{2}$. Точка III четверти — $-2\pi -\frac{2\pi }{3}=-\frac{8\pi }{3}$. Нижняя точка — конец отрезка $-\frac{5\pi }{2}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\frac{\pi }{2}+\pi k$: $-\frac{9\pi }{2}<-4\pi$ и $-\frac{3\pi }{2}>-\frac{5\pi }{2}$. Для серии $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$: $-\frac{14\pi }{3}<-4\pi$ и $-\frac{2\pi }{3}>-\frac{5\pi }{2}$. Серия $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{13\pi }{3}<-4\pi$, а $-\frac{7\pi }{3}=-\frac{14\pi }{6}>-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{2}$; $-\frac{8\pi }{3}$; $-\frac{5\pi }{2}$.