ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

$$\{\begin{array}{l}5\cos 2x-3\cos x+1=0,\\ 25{\sin }^{2}x-9\ne 0.\end{array}$$

Разберёмся со знаменателем. Условие $25{\sin }^{2}x\ne 9$ равносильно ${\sin }^{2}x\ne \frac{9}{25}$. Так как ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, это то же самое, что

$${\cos }^{2}x\ne 1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\iff \cos x\ne \pm \frac{4}{5}.$$

Теперь решим уравнение числитель $=0$. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$:

$$5\left(2{\cos }^{2}x-1\right)-3\cos x+1=0\iff 10{\cos }^{2}x-3\cos x-4=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$10t^2-3t-4=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 10\cdot (-4)=9+160=169=13^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{3+13}{20}=\frac{4}{5},t_2=\frac{3-13}{20}=-\frac{1}{2}.$$

Значение $\cos x=\frac{4}{5}$ запрещено условием на знаменатель: при нём ${\sin }^{2}x=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ и знаменатель обращается в нуль. Значение $\cos x=-\frac{1}{2}$ допустимо, так как $-\frac{1}{2}\ne \pm \frac{4}{5}$.

Косинус равен $-\frac{1}{2}$ в двух точках левой полуокружности, симметричных относительно горизонтальной оси:

$$x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right]$ имеет длину $5\pi -\frac{7\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{7\pi }{2}=4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $5\pi =4\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

Точка $\frac{2\pi }{3}$ лежит во II четверти — на дуге. Точка $-\frac{2\pi }{3}$ лежит в III четверти — дугой не покрыта.

Точке II четверти на дуге соответствует число $4\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{14\pi }{3}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$: $\frac{8\pi }{3}<\frac{7\pi }{2}$ и $\frac{20\pi }{3}>5\pi$. Серия $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}<\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$, а $\frac{16\pi }{3}>5\pi$.

Ответ: а) $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{14\pi }{3}$.