ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Обе части определены при всех $x$, ограничений нет.

По свойству степени ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$ представим правую часть как степень с основанием 36:

$$6^{2\sin x}={\left(6^2\right)}^{\sin x}=36^{\sin x}.$$

Уравнение принимает вид

$$36^{\sin 2x}=36^{\sin x}.$$

Показательная функция $y=36^t$ строго возрастает (основание больше 1), поэтому каждое своё значение принимает ровно при одном $t$. Значит, степени равны тогда и только тогда, когда равны показатели:

$$\sin 2x=\sin x.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

$$2\sin x\cos x-\sin x=0\iff \sin x\left(2\cos x-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Серия $x=\pi k$ — это правая и левая точки окружности, серия $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$ — две точки правой полуокружности, симметричные относительно горизонтальной оси.

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\pi <2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II и III четверти, то есть это левая полуокружность.

На ней из всех точек серий лежит только левая точка окружности. Точки $\pm \frac{\pi }{3}$ и правая точка лежат на правой полуокружности.

Левой точке на дуге соответствует число $-4\pi +\pi =-3\pi$.

Проверим соседние значения. Для серии $\pi k$: $-4\pi <-\frac{7\pi }{2}$ и $-2\pi >-\frac{5\pi }{2}$. Серия $\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{11\pi }{3}<-\frac{7\pi }{2}$, а $-\frac{5\pi }{3}>-\frac{5\pi }{2}$. Серия $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ тоже пропускает: $-\frac{13\pi }{3}<-\frac{7\pi }{2}$, а $-\frac{7\pi }{3}>-\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi$.