ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — нечётная функция: $\sin (-x)=-\sin x$. Из основного тригонометрического тождества ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Подставим:

$$2\left(1-{\sin }^{2}x\right)-3\sin x-3=0\iff -2{\sin }^{2}x-3\sin x-1=0.$$

Умножим обе части на $-1$:

$$2{\sin }^{2}x+3\sin x+1=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2t^2+3t+1=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1.$$

Тогда

$$t_1=\frac{-3-1}{2\cdot 2}=-1,t_2=\frac{-3+1}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2}.$$

Оба корня лежат в промежутке $[-1;1]$. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}\sin x=-1,\\ \sin x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Синус равен $-1$ только в нижней точке окружности: $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$. Синус равен $-\frac{1}{2}$ в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{6}$) и в III четверти (угол $-\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $2\pi$ — правая точка окружности, конец $\frac{7\pi }{2}=4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

Нижняя точка (серия $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$) совпадает с концом дуги. Точка $-\frac{5\pi }{6}$ лежит в III четверти — на дуге. Точка $-\frac{\pi }{6}$ лежит в IV четверти — дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге: точке III четверти соответствует $4\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{19\pi }{6}$, нижней точке — конец отрезка $\frac{7\pi }{2}$.

Проверим соседние значения. Для серии $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$: $\frac{7\pi }{6}<2\pi$ и $\frac{31\pi }{6}>\frac{7\pi }{2}$. Для серии $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$: $\frac{3\pi }{2}<2\pi$ и $\frac{11\pi }{2}>\frac{7\pi }{2}$. Серия $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{11\pi }{6}<2\pi$, а $\frac{23\pi }{6}>\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{19\pi }{6}$; $\frac{7\pi }{2}$.