ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — нечётная функция: $\sin (-x)=-\sin x$. Из основного тригонометрического тождества ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Подставим:

$$2\sin x-2\sqrt{3}\sin x-4\left(1-{\sin }^{2}x\right)=\sqrt{3}-4.$$

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть; слагаемые $-4$ и $+4$ сокращаются:

$$4{\sin }^{2}x+\left(2-2\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$4t^2+\left(2-2\sqrt{3}\right)t-\sqrt{3}=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D={\left(2-2\sqrt{3}\right)}^2+4\cdot 4\cdot \sqrt{3}=4-8\sqrt{3}+12+16\sqrt{3}=16+8\sqrt{3}=4\left(4+2\sqrt{3}\right)=4{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2.$$

Здесь мы заметили, что $4+2\sqrt{3}=1+2\sqrt{3}+3={\left(1+\sqrt{3}\right)}^2$. Значит, $\sqrt{D}=2\left(1+\sqrt{3}\right)$ и

$$t_1=\frac{2\sqrt{3}-2+2+2\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2},t_2=\frac{2\sqrt{3}-2-2-2\sqrt{3}}{8}=-\frac{1}{2}.$$

Оба корня лежат в промежутке $[-1;1]$. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \sin x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в двух точках — в I четверти (угол $\frac{\pi }{3}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$). Синус равен $-\frac{1}{2}$ в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{6}$) и в III четверти (угол $-\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{7\pi }{2}-2\pi =\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $2\pi$ — правая точка окружности, конец $\frac{7\pi }{2}=4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

Точки $\frac{\pi }{3}$ (I четверть), $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть) и $-\frac{5\pi }{6}$ (III четверть) лежат на дуге. Точка $-\frac{\pi }{6}$ (IV четверть) дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге: $2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$, $2\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{8\pi }{3}$, $4\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{19\pi }{6}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\frac{\pi }{3}+2\pi k$: $\frac{\pi }{3}<2\pi$ и $\frac{13\pi }{3}>\frac{7\pi }{2}$. Для серии $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$: $\frac{2\pi }{3}<2\pi$ и $\frac{14\pi }{3}>\frac{7\pi }{2}$. Для серии $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$: $\frac{7\pi }{6}<2\pi$ и $\frac{31\pi }{6}>\frac{7\pi }{2}$. Серия $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{11\pi }{6}<2\pi$, а $\frac{23\pi }{6}>\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi }{3}$; $\frac{8\pi }{3}$; $\frac{19\pi }{6}$.