ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(x+\frac{3\pi }{2}\right)=-\cos x$: угол $\frac{3\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}+x$ лежит в IV четверти, где синус отрицателен. При возведении в квадрат минус пропадает:

$${\sin }^2\left(x+\frac{3\pi }{2}\right)=(-\cos x{)}^2={\cos }^{2}x.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2\sqrt{3}{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$$2\cos x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sqrt{3}\cos x+\sin x=0.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ — это верхняя и нижняя точки окружности.

Второе уравнение — однородное первой степени. На его решениях $\cos x\ne 0$: если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не обращаются в нуль одновременно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Поэтому деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\sqrt{3}+\mathrm{tg}x=0\iff \mathrm{tg}x=-\sqrt{3}\iff x=-\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Итак,

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $-\frac{5\pi }{2}+4\pi =\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-4\pi$ — правая точка окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

Серия $\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт верхнюю и нижнюю точки — обе на дуге (нижняя совпадает с её концом). Серия $-\frac{\pi }{3}+\pi k$ даёт две диаметрально противоположные точки: $-\frac{\pi }{3}$ в IV четверти и $\frac{2\pi }{3}$ во II четверти. На дуге лежит только точка II четверти.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Верхняя точка — $-4\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{7\pi }{2}$. Точка II четверти — $-4\pi +\frac{2\pi }{3}=-\frac{10\pi }{3}$. Нижняя точка — конец отрезка $-\frac{5\pi }{2}$.

Проверим соседние значения серий. Для серии $\frac{\pi }{2}+\pi k$: $-\frac{9\pi }{2}<-4\pi$ и $-\frac{3\pi }{2}>-\frac{5\pi }{2}$. Для серии $-\frac{\pi }{3}+\pi k$: $-\frac{13\pi }{3}<-4\pi$ и $-\frac{7\pi }{3}=-\frac{14\pi }{6}>-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$. Все они вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{2}$; $-\frac{10\pi }{3}$; $-\frac{5\pi }{2}$.