ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) Логарифмы определены, когда их аргумент положителен:

$$x+2>0\iff x>-2.$$

Все основания $4=2^2$, $16=2^4$, $0,5=2^{-1}$ — степени двойки. Воспользуемся свойством ${\log }_{a^m}b=\frac{1}{m}{\log }_{a}b$ и приведём каждое слагаемое к основанию 2.

Первое слагаемое:

$$4{\log }_4^3(x+2)=4{\left(\frac{1}{2}{\log }_2(x+2)\right)}^3=4\cdot \frac{1}{8}{\log }_2^3(x+2)=\frac{1}{2}{\log }_2^3(x+2).$$

Второе слагаемое:

$$16{\log }_{16}^2(x+2)=16{\left(\frac{1}{4}{\log }_2(x+2)\right)}^2=16\cdot \frac{1}{16}{\log }_2^2(x+2)={\log }_2^2(x+2).$$

Третье слагаемое:

$$0,5{\log }_{0,5}(x+2)=\frac{1}{2}\cdot \left(-{\log }_2(x+2)\right)=-\frac{1}{2}{\log }_2(x+2).$$

Сделаем замену $t={\log }_2(x+2)$. При $x>-2$ это равносильное преобразование, $t$ может быть любым числом. Уравнение принимает вид

$$\frac{1}{2}{t}^3+t^2-\frac{1}{2}t=1.$$

Умножим обе части на 2 и перенесём всё влево:

$$t^3+2t^2-t-2=0.$$

Сгруппируем: из первых двух слагаемых вынесем $t^2$, из последних двух вынесем $-1$:

$$t^2(t+2)-(t+2)=0\iff (t+2)\left(t^2-1\right)=0\iff (t+2)(t-1)(t+1)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $t=-2$, $t=-1$ или $t=1$.

Сделаем обратную замену. По определению логарифма ${\log }_2(x+2)=t$ означает $x+2=2^t$:

$$[\begin{array}{l}{\log }_2(x+2)=-2,\\ {\log }_2(x+2)=-1,\\ {\log }_2(x+2)=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x+2=\frac{1}{4},\\ x+2=\frac{1}{2},\\ x+2=2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{7}{4},\\ x=-\frac{3}{2},\\ x=0.\end{array}$$

Все три числа больше $-2$, поэтому удовлетворяют ОДЗ.

б) Сравним каждый корень с концами отрезка $\left[{\log }_{0,4}4;{\log }_{4}0,4\right]$.

Правый конец отрицателен: основание $4>1$, а аргумент $0,4<1$, значит ${\log }_{4}0,4<{\log }_{4}1=0$. Поэтому корень $x=0$ лежит правее отрезка и не подходит.

Корень $-\frac{3}{2}$ сравним с левым концом. Запишем $-\frac{3}{2}={\log }_{0,4}0,4^{-\frac{3}{2}}$. Функция $y={\log }_{0,4}t$ убывает (основание меньше 1), поэтому

$$-\frac{3}{2}⩾{\log }_{0,4}4\iff 0,4^{-\frac{3}{2}}⩽4\iff {\left(\frac{5}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}⩽4.$$

Обе части положительны, возведём их в квадрат — это равносильный переход:

$${\left(\frac{5}{2}\right)}^3⩽16\iff \frac{125}{8}⩽16\iff 125⩽128.$$

Последнее неравенство верное, значит $-\frac{3}{2}⩾{\log }_{0,4}4$.

Теперь сравним $-\frac{3}{2}$ с правым концом. Запишем $-\frac{3}{2}={\log }_4{4}^{-\frac{3}{2}}$. Функция $y={\log }_{4}t$ возрастает (основание больше 1), поэтому

$$-\frac{3}{2}⩽{\log }_{4}0,4\iff 4^{-\frac{3}{2}}⩽0,4\iff \frac{1}{8}⩽\frac{2}{5}.$$

Это верно, так как $\frac{1}{8}=\frac{5}{40}$, а $\frac{2}{5}=\frac{16}{40}$. Значит, корень $-\frac{3}{2}$ принадлежит отрезку.

Осталось проверить корень $-\frac{7}{4}$. Аналогично

$$-\frac{7}{4}<{\log }_{0,4}4\iff 0,4^{-\frac{7}{4}}>4\iff {\left(\frac{5}{2}\right)}^{\frac{7}{4}}>4.$$

Возведём обе положительные части в четвёртую степень:

$${\left(\frac{5}{2}\right)}^7>4^4\iff \frac{78125}{128}>256\iff 78125>32768.$$

Неравенство верное, значит $-\frac{7}{4}<{\log }_{0,4}4$: этот корень лежит левее отрезка и не подходит.

Ответ: а) $-\frac{7}{4}$; $-\frac{3}{2}$; $0$; б) $-\frac{3}{2}$.