ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим $\sin \left(x-\frac{3\pi }{2}\right)$. Синус — нечётная функция, поэтому

$$\sin \left(x-\frac{3\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right).$$

По формуле приведения $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\cos x$: угол $\frac{3\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}-x$ лежит в III четверти, где синус отрицателен. Значит,

$$\sin \left(x-\frac{3\pi }{2}\right)=-(-\cos x)=\cos x.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим оба выражения в уравнение:

$$2\sin x\cos x=\sin x-2\cos x+1.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$2\sin x\cos x-\sin x+2\cos x-1=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых. Из первой пары вынесем $\sin x$, вторая пара уже равна $2\cos x-1$:

$$\sin x\left(2\cos x-1\right)+\left(2\cos x-1\right)=0.$$

Вынесем общий множитель $2\cos x-1$ за скобки:

$$\left(2\cos x-1\right)\left(\sin x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (оба множителя определены при всех $x$):

$$[\begin{array}{l}2\cos x-1=0,\\ \sin x+1=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=\frac{1}{2},\\ \sin x=-1.\end{array}$$

Косинус равен $\frac{1}{2}$ в двух точках окружности, симметричных относительно горизонтальной оси: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$. Синус равен $-1$ только в нижней точке окружности: $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$. Итак,

$$[\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ имеет длину $3\pi -\frac{3\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\frac{3\pi }{2}$ изображается нижней точкой окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левой точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти.

Нижняя точка (серия $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$) совпадает с началом дуги. Точка $\frac{\pi }{3}$ лежит в I четверти, точка $-\frac{\pi }{3}$ — в IV четверти, обе на дуге.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Нижняя точка — это начало отрезка $\frac{3\pi }{2}$. Точка IV четверти — $2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$. Точка I четверти — $2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$.

Проверим соседние значения серий. Для серии $\frac{\pi }{3}+2\pi k$: $\frac{\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{13\pi }{3}>3\pi$. Для серии $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$: $-\frac{\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{11\pi }{3}>3\pi$. Для серии $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$: $-\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{7\pi }{2}>3\pi$. Все они вне отрезка.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi }{2}$; $\frac{5\pi }{3}$; $\frac{7\pi }{3}$.