ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма $3^{\sin x}\cdot 4^{\cos x}$ — произведение двух положительных степеней, поэтому он положителен при всех $x$. Значит, уравнение определено при любом $x$.

По определению логарифма равенство ${\log }_{12}A=\sin x$ при $A>0$ равносильно равенству $A=12^{\sin x}$:

$$12^{\sin x}=3^{\sin x}\cdot 4^{\cos x}.$$

Разложим основание: $12^{\sin x}=(3\cdot 4{)}^{\sin x}=3^{\sin x}\cdot 4^{\sin x}$. Получаем

$$3^{\sin x}\cdot 4^{\sin x}=3^{\sin x}\cdot 4^{\cos x}.$$

Разделим обе части на $3^{\sin x}>0$ — это равносильный переход:

$$4^{\sin x}=4^{\cos x}.$$

Функция $y=4^u$ монотонна, поэтому показатели равны: $\sin x=\cos x$.

Это однородное уравнение первой степени. Если $\cos x=0$, то и $\sin x=0$, что невозможно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, $\cos x\ne 0$, и обе части можно разделить на $\cos x$:

$$\mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $2\pi$ — правая точка, конец $\frac{7\pi }{2}=2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти. Серия $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт точки $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) и $\frac{5\pi }{4}$ (III четверть) — обе на дуге.

Точке I четверти соответствует $2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$, точке III четверти — $2\pi +\frac{5\pi }{4}=\frac{13\pi }{4}$. Соседние значения серии $\frac{5\pi }{4}<2\pi$ и $\frac{17\pi }{4}>\frac{14\pi }{4}=\frac{7\pi }{2}$ вне отрезка.

На отрезке лежат $\frac{9\pi }{4}$, $\frac{13\pi }{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{9\pi }{4}$; $\frac{13\pi }{4}$.