ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Применим формулы приведения. Угол $\pi -x$ отсчитывается от горизонтальной оси, поэтому название функции сохраняется; при малых $x>0$ он лежит во II четверти, где косинус отрицателен: $\cos (\pi -x)=-\cos x$, а значит, ${\cos }^2(\pi -x)={\cos }^{2}x$.

Угол $\frac{3\pi }{2}+x$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус; при малых $x>0$ он лежит в IV четверти, где синус отрицателен: $\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=-\cos x$.

Уравнение принимает вид

$${\cos }^{2}x+\cos x=0\iff \cos x\left(\cos x+1\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=-1.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$ (верхняя и нижняя точки окружности), из второго $x=\pi +2\pi m$, $m\in \mathbb{Z}$ (левая точка).

б) Отрезок $\left[-\frac{5\pi }{3};-\frac{\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{7\pi }{6}<2\pi$, отберём корни на окружности. Начало $-\frac{5\pi }{3}=-2\pi +\frac{\pi }{3}$ — точка I четверти, соответствующая углу $\frac{\pi }{3}$; конец $-\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через верхнюю точку, II четверть, левую точку и III четверть. На ней лежат верхняя точка, левая точка и нижняя точка (конец дуги).

Переведём точки в числа отрезка. Верхней точке соответствует $-2\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{3\pi }{2}$, нижней — $-\frac{\pi }{2}$. Проверим, что $-\frac{3\pi }{2}$ не левее начала: $-\frac{3\pi }{2}=-\frac{9\pi }{6}>-\frac{10\pi }{6}=-\frac{5\pi }{3}$. Соседние значения серии $-\frac{5\pi }{2}<-\frac{5\pi }{3}$ и $\frac{\pi }{2}>-\frac{\pi }{2}$ вне отрезка.

Левой точке соответствует $-\pi$; соседние значения серии $x=\pi +2\pi m$ равны $-3\pi <-\frac{5\pi }{3}$ и $\pi >-\frac{\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{3\pi }{2}$, $-\pi$, $-\frac{\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$; $\pi +2\pi m,m\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{3\pi }{2}$; $-\pi$; $-\frac{\pi }{2}$.