ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ и раскроем скобки:

$$\cos x\left(1-2{\sin }^{2}x\right)-{\sin }^{2}x-\cos x=0\iff \cos x-2{\sin }^{2}x\cos x-{\sin }^{2}x-\cos x=0.$$

Слагаемые $\cos x$ и $-\cos x$ взаимно уничтожаются. Умножим оставшееся на $-1$ и вынесем ${\sin }^{2}x$ за скобки:

$$2{\sin }^{2}x\cos x+{\sin }^{2}x=0\iff {\sin }^{2}x\left(2\cos x+1\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$. Абсцисса $-\frac{1}{2}$ отвечает точкам $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть) и $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть), поэтому из второго уравнения $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка, конец $-\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

Серия $x=\pi k$ — правая и левая точки: правая лежит внутри дуги, левая совпадает с её концом. Точка $\frac{2\pi }{3}$ из II четверти на дуге лежит, точка $-\frac{2\pi }{3}$ из III четверти — нет.

Переведём точки в числа отрезка. Правой точке соответствует $-2\pi$, левой — $-\pi$; соседние значения серии $-3\pi <-\frac{5\pi }{2}$ и $0>-\pi$ вне отрезка.

Точке II четверти соответствует $-2\pi +\frac{2\pi }{3}=-\frac{4\pi }{3}$; соседние значения $-\frac{10\pi }{3}<-\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{2\pi }{3}>-\pi$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{8\pi }{3}=-\frac{16\pi }{6}<-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$, а следующее значение $-\frac{2\pi }{3}>-\pi$.

На отрезке лежат $-2\pi$, $-\frac{4\pi }{3}$, $-\pi$.

Ответ: а) $\pi k$; $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-2\pi$; $-\frac{4\pi }{3}$; $-\pi$.