ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$: угол отсчитывается от $\frac{\pi }{2}$, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}+x$ лежит во II четверти, где синус положителен. Уравнение принимает вид

$$6{\cos }^{2}x+5\cos x-4=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$6t^2+5t-4=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 6\cdot (-4)=25+96=121=11^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{-5+11}{12}=\frac{1}{2},t_2=\frac{-5-11}{12}=-\frac{4}{3}.$$

Значение $t_2=-\frac{4}{3}<-1$ не подходит: косинус не может быть меньше $-1$. Остаётся

$$\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $-2\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти. Точка $\frac{\pi }{3}$ из I четверти на дугу не попадает, а точка $-\frac{\pi }{3}$ из IV четверти лежит на ней.

Точке IV четверти на дуге соответствует число $-2\pi -\frac{\pi }{3}=-\frac{7\pi }{3}$. Соседние значения этой серии $-\frac{13\pi }{3}=-\frac{26\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{3}>-2\pi$ вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{11\pi }{3}=-\frac{22\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$, а следующее значение $-\frac{5\pi }{3}>-2\pi$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{3}$.