ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Оба множителя определены при всех $x$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}4x^2+16x+15=0,\\ \cos x\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)-0,5=0.\end{array}$$

Решим первое уравнение. Найдём дискриминант:

$$D=16^2-4\cdot 4\cdot 15=256-240=16.$$

Тогда

$$x_1=\frac{-16-4}{8}=-\frac{5}{2},x_2=\frac{-16+4}{8}=-\frac{3}{2}.$$

Во втором уравнении применим формулу приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\sin x$: косинус меняется на синус, а угол $\frac{\pi }{2}+x$ при малых $x>0$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен. Получаем

$$-\sin x\cos x-\frac{1}{2}=0.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$, поэтому

$$-\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}=0\iff \sin 2x=-1.$$

Отсюда $2x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, то есть $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Итак, корни уравнения: $-\frac{5}{2}$, $-\frac{3}{2}$ и $-\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Сначала проверим числовые корни, сравнив их с концами отрезка $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$. Воспользуемся оценкой $3<\pi <4$.

Из $\pi >3$ следует $\frac{\pi }{2}>\frac{3}{2}$, то есть $-\frac{\pi }{2}<-\frac{3}{2}$. Значит, корень $-\frac{3}{2}$ правее правого конца отрезка и не подходит.

Из $\pi <4<5$ следует $\frac{\pi }{2}<\frac{5}{2}$, то есть $-\frac{5}{2}<-\frac{\pi }{2}$. Из $\pi >3$ следует $2\pi >6>\frac{5}{2}$, то есть $-2\pi <-\frac{5}{2}$. Значит, $-2\pi <-\frac{5}{2}<-\frac{\pi }{2}$, и корень $-\frac{5}{2}$ принадлежит отрезку.

Серию $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ отберём на окружности: длина отрезка $\frac{3\pi }{2}$. Начало $-2\pi$ — правая точка, конец $-\frac{\pi }{2}=-2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти. Серия даёт точки $-\frac{\pi }{4}$ (IV четверть) и $\frac{3\pi }{4}$ (II четверть); на дуге лежит только точка II четверти.

Ей соответствует число $-2\pi +\frac{3\pi }{4}=-\frac{5\pi }{4}$. Соседние значения серии $-\frac{9\pi }{4}<-\frac{8\pi }{4}=-2\pi$ и $-\frac{\pi }{4}>-\frac{\pi }{2}$ вне отрезка.

На отрезке лежат $-\frac{5\pi }{4}$ и $-\frac{5}{2}$.

Ответ: а) $-\frac{5}{2}$; $-\frac{3}{2}$; $-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{5\pi }{4}$; $-\frac{5}{2}$.