ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Распишем косинус суммы по формуле $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ и учтём $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$2\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)=\cos x-\sqrt{3}\sin x.$$

Синус разности распишем по формуле $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$:

$$2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=\sin x-\sqrt{3}\cos x.$$

Подставим в уравнение:

$$\cos x-\sqrt{3}\sin x+\sqrt{3}\sin x=\sin x-\sqrt{3}\cos x+\sqrt{3}\cos x\iff \cos x=\sin x.$$

Получилось однородное уравнение первой степени. Если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не могут одновременно равняться нулю, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях $\cos x\ne 0$, и деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\pi$, отберём корни на окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки — левая полуокружность (II и III четверти).

Серия $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт две диаметрально противоположные точки: в I четверти ($\frac{\pi }{4}$) и в III четверти ($\frac{5\pi }{4}$). На дугу попадает только точка III четверти.

Ей соответствует число $-4\pi +\frac{5\pi }{4}=-\frac{11\pi }{4}$. Соседние значения серии $-\frac{15\pi }{4}<-\frac{14\pi }{4}=-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{7\pi }{4}>-\frac{10\pi }{4}=-\frac{5\pi }{2}$ вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{4}$.