ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) Найдём ОДЗ. Выражение $x^4+25>0$ при всех $x$, выражение $30x^2+12>0$ при всех $x$, поэтому корень $\sqrt{30x^2+12}$ определён и положителен. Значит, уравнение имеет смысл при любом $x$.

Преобразуем правую часть. Запишем $\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{30x^2+12}={\left(30x^2+12\right)}^{\frac{1}{2}}$. По свойству ${\log }_{a^p}{b}^p={\log }_{a}b$ (одинаковые показатели у основания и аргумента сокращаются):

$${\log }_{\sqrt{3}}\sqrt{30x^2+12}={\log }_{3^{\frac{1}{2}}}{\left(30x^2+12\right)}^{\frac{1}{2}}={\log }_3\left(30x^2+12\right).$$

В левой части представим $1={\log }_{3}3$ и воспользуемся формулой суммы логарифмов ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$:

$$1+{\log }_3\left(x^4+25\right)={\log }_{3}3+{\log }_3\left(x^4+25\right)={\log }_3\left(3x^4+75\right).$$

Уравнение принимает вид

$${\log }_3\left(3x^4+75\right)={\log }_3\left(30x^2+12\right).$$

Функция $y={\log }_{3}u$ возрастает, а оба аргумента положительны при всех $x$, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов:

$$3x^4+75=30x^2+12\iff 3x^4-30x^2+63=0\iff x^4-10x^2+21=0.$$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y=x^2$, где $y⩾0$:

$$y^2-10y+21=0.$$

По теореме, обратной теореме Виета, корни — числа с суммой 10 и произведением 21: $y_1=3$ и $y_2=7$. Оба неотрицательны. Вернёмся к $x$:

$$[\begin{array}{l}{x}^2=3,\\ x^2=7\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pm \sqrt{3},\\ x=\pm \sqrt{7}.\end{array}$$

б) Сравним корни с концами отрезка $[-2,2;3,2]$. Для этого возведём концы в квадрат:

$$2,2^2=4,84,3,2^2=10,24.$$

Тогда $3<4,84<7<10,24$. Функция $y=\sqrt{u}$ возрастает, поэтому

$$\sqrt{3}<2,2<\sqrt{7}<3,2.$$

Отсюда получаем расположение всех чисел на прямой:

$$-\sqrt{7}<-2,2<-\sqrt{3}<\sqrt{3}<\sqrt{7}<3,2.$$

Корень $-\sqrt{7}$ левее отрезка и не подходит, а $-\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{7}$ лежат между $-2,2$ и $3,2$.

Ответ: а) $\pm \sqrt{3}$; $\pm \sqrt{7}$; б) $-\sqrt{3}$; $\sqrt{3}$; $\sqrt{7}$.