ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По свойству степени $(a^n{)}^m=(a^m{)}^n$ перепишем первое слагаемое:

$$16^{\sin x}={\left(4^2\right)}^{\sin x}={\left(4^{\sin x}\right)}^2.$$

Сделаем замену $t=4^{\sin x}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Получаем квадратное уравнение

$$t^2-6t+8=0.$$

По теореме, обратной теореме Виета, его корни — числа с суммой 6 и произведением 8: $t_1=2$ и $t_2=4$ (проверка: $2+4=6$, $2\cdot 4=8$). Оба значения положительны.

Сделаем обратную замену и приведём обе части к основанию 2, учитывая $4^{\sin x}=2^{2\sin x}$:

$$[\begin{array}{l}{4}^{\sin x}=2,\\ 4^{\sin x}=4\end{array}\iff [\begin{array}{l}{2}^{2\sin x}=2^1,\\ 2^{2\sin x}=2^2.\end{array}$$

Функция $y=2^u$ монотонна, поэтому показатели равны:

$$[\begin{array}{l}2\sin x=1,\\ 2\sin x=2\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2},\\ \sin x=1.\end{array}$$

Ордината $\frac{1}{2}$ отвечает точкам $\frac{\pi }{6}$ (I четверть) и $\frac{5\pi }{6}$ (II четверть), ордината 1 — верхней точке $\frac{\pi }{2}$. Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Отрезок $\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $-5\pi =-6\pi +\pi$ — левая точка, конец $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через III, IV и I четверти. На ней лежат точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти и верхняя точка (конец дуги), а точка $\frac{5\pi }{6}$ из II четверти на дугу не попадает.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-4\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{23\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{35\pi }{6}<-\frac{30\pi }{6}=-5\pi$ и $-\frac{11\pi }{6}>-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{31\pi }{6}<-\frac{30\pi }{6}=-5\pi$, а следующее значение $-\frac{19\pi }{6}>-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{7\pi }{2}$: соседние значения $-\frac{11\pi }{2}<-5\pi$ и $-\frac{3\pi }{2}>-\frac{7\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{23\pi }{6}$, $-\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$; $\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{23\pi }{6}$; $-\frac{7\pi }{2}$.